Xét các số thực $x,y$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}\dfrac{1-y}{x+3xy}=3xy+x+3y-4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của biểu thức $P=x+y$.

Điều kiện: $\dfrac{1-y}{x+3xy}>0.$ Vì $x,y>0$ do đó $\dfrac{1-y}{x+3xy}>0\Leftrightarrow 1-y>0\Leftrightarrow 0<y<1$
Ta có:
${{\log }_{3}}\dfrac{1-y}{x+3xy}=3xy+x+3y-4\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ 3\left( 1-y \right) \right]+3\left( 1-y \right)={{\log }_{3}}\left( 3xy+x \right)+\left( 3xy+x \right)\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có: $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 3}+1>0\left( \forall t>0 \right).$
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Suy ra:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 3\left( 1-y \right) \right)=f\left( 3xy+x \right)\Leftrightarrow 3\left( 1-y \right)=3xy+x\Leftrightarrow x=\dfrac{3\left( 1-y \right)}{3y+1}=\dfrac{4}{3y+1}-1\text{ }\left( 0<y<1 \right)$
Suy ra $P=x+y=y+\dfrac{4}{3y+1}-1=\dfrac{1}{3}\left( 3y+1 \right)+\dfrac{4}{3y+1}-\dfrac{4}{3}\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{3}\left( 3y+1 \right).\dfrac{4}{3y+1}}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}-4}{3}$
$\Rightarrow {{P}_{\min }}=\dfrac{4\sqrt{3}-4}{3}.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\left( 3y+1 \right)=\dfrac{4}{3y+1}\Rightarrow {{\left( 3y+1 \right)}^{2}}=12\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=\dfrac{2\sqrt{3}-1}{3}\left( TM \right)\Rightarrow x=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{3} \\
& y=\dfrac{-2\sqrt{3}-1}{3}\left( L \right) \\
\end{aligned} \right.$.