Google
Câu hỏi: Xét các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $\left( x+y \right)\left( {{5}^{z}}-{{25}^{\dfrac{1}{x+y}}} \right)=xz+yz-2$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{\log }_{\sqrt{5}}}z+{{\log }_{5}}\left( 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$ bằng
A. $1-{{\log }_{2}}3$.
B. $5-{{\log }_{2}}3$.
C. $1+{{\log }_{2}}3$.
D. $-1+2{{\log }_{5}}4$.
A. $1-{{\log }_{2}}3$.
B. $5-{{\log }_{2}}3$.
C. $1+{{\log }_{2}}3$.
D. $-1+2{{\log }_{5}}4$.
Phương trình: $\left( x+y \right)\left( {{5}^{z}}-{{25}^{\dfrac{1}{x+y}}} \right)=xz+yz-2\Leftrightarrow {{5}^{z}}-z={{5}^{\dfrac{2}{x+y}}}-\dfrac{2}{x+y}$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{5}^{t}}-t,t\in \left( 0;+\infty \right)$. Ta có ${f}'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5-1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ do đó hàm số đồng biến $\left( 0;+\infty \right)$ suy ra $f\left( z \right)=f\left( \dfrac{2}{x+y} \right)\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{x+y}$ thay lại ta được
$P={{\log }_{\sqrt{5}}}\dfrac{2}{x+y}+{{\log }_{5}}\left( 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\log }_{5}}\dfrac{4\left( 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}$
Ta có ${{\left( x+y \right)}^{2}}={{\left( 2x.\dfrac{1}{2}+y.1 \right)}^{2}}\le \left( 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right).\dfrac{5}{4}$ do đó $P={{\log }_{5}}\dfrac{4\left( 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}\ge {{\log }_{5}}\dfrac{16}{5}=-1+2{{\log }_{5}}4$.
Dấu bằng xảy ra $y=4x,z=\dfrac{2}{5x}.$
Xét hàm số: $f\left( t \right)={{5}^{t}}-t,t\in \left( 0;+\infty \right)$. Ta có ${f}'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5-1>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ do đó hàm số đồng biến $\left( 0;+\infty \right)$ suy ra $f\left( z \right)=f\left( \dfrac{2}{x+y} \right)\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{x+y}$ thay lại ta được
$P={{\log }_{\sqrt{5}}}\dfrac{2}{x+y}+{{\log }_{5}}\left( 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)={{\log }_{5}}\dfrac{4\left( 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}$
Ta có ${{\left( x+y \right)}^{2}}={{\left( 2x.\dfrac{1}{2}+y.1 \right)}^{2}}\le \left( 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right).\dfrac{5}{4}$ do đó $P={{\log }_{5}}\dfrac{4\left( 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}\ge {{\log }_{5}}\dfrac{16}{5}=-1+2{{\log }_{5}}4$.
Dấu bằng xảy ra $y=4x,z=\dfrac{2}{5x}.$
Đáp án D.