Xét các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $\left( x+y \right)\left(...

The Collectors · 13/3/22

Câu hỏi: Xét các số thực dương

x, y, z

thỏa mãn

(x + y) (5^{z} - 25^{\frac{1}{x + y}}) = x z + y z - 2

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \log_{\sqrt{5}} z + \log_{5} (4 x^{2} + y^{2})

bằng
A.

1 - \log_{2} 3

.
B.

5 - \log_{2} 3

.
C.

1 + \log_{2} 3

.
D.

- 1 + 2 \log_{5} 4

.

Phương trình:

(x + y) (5^{z} - 25^{\frac{1}{x + y}}) = x z + y z - 2 \Leftrightarrow 5^{z} - z = 5^{\frac{2}{x + y}} - \frac{2}{x + y}

Xét hàm số:

f (t) = 5^{t} - t, t \in (0; + \infty)

. Ta có

f^{'} (t) = 5^{t} \ln 5 - 1 > 0, \forall t \in (0; + \infty)

do đó hàm số đồng biến

(0; + \infty)

suy ra

f (z) = f (\frac{2}{x + y}) \Leftrightarrow z = \frac{2}{x + y}

thay lại ta được

P = \log_{\sqrt{5}} \frac{2}{x + y} + \log_{5} (4 x^{2} + y^{2}) = \log_{5} \frac{4 (4 x^{2} + y^{2})}{{(x + y)}^{2}}

Ta có

{(x + y)}^{2} = {(2 x . \frac{1}{2} + y .1)}^{2} \leq (4 x^{2} + y^{2}) . \frac{5}{4}

do đó

P = \log_{5} \frac{4 (4 x^{2} + y^{2})}{{(x + y)}^{2}} \geq \log_{5} \frac{16}{5} = - 1 + 2 \log_{5} 4

.
Dấu bằng xảy ra

y = 4 x, z = \frac{2}{5 x} .

Đáp án D.

Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn $\left( x+y \right)\left(...