Google
Câu hỏi: Xét các số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn ${{8.2}^{{{y}^{2}}}}+2{{y}^{2}}-2x+6={{2}^{x}}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\dfrac{x+2{{y}^{4}}-3}{xy-3y}$ thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. $\left( 0;2 \right)$.
B. $\left[ 4;10 \right)$.
C. $\left[ 3;4 \right)$.
D. $\left[ \dfrac{1}{2};3 \right)$.
A. $\left( 0;2 \right)$.
B. $\left[ 4;10 \right)$.
C. $\left[ 3;4 \right)$.
D. $\left[ \dfrac{1}{2};3 \right)$.
Ta có ${{8.2}^{{{y}^{2}}}}+2{{y}^{2}}-2x+6={{2}^{x}}\Leftrightarrow {{2}^{{{y}^{2}}+3}}+2\left( {{y}^{2}}+3 \right)={{2}^{x}}+2x$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+2t$ xác định trên $\mathbb{R}$ có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+2>0,\forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Mà $f\left( {{y}^{2}}+3 \right)=f\left( x \right)\Rightarrow {{y}^{2}}+3=x$.
Khi đó, ta có
$S=\dfrac{x+2{{y}^{4}}-3}{xy-3y}=\dfrac{{{y}^{2}}+3+2{{y}^{4}}-3}{\left( {{y}^{2}}+3 \right)y-3y}=\dfrac{{{y}^{2}}+2{{y}^{4}}}{{{y}^{3}}}=\dfrac{1}{y}+2y\ge 2\sqrt{2}, \forall y>0$.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{y}^{2}}+3=x \\
& 2{{y}^{2}}=1 \\
& x>0,y>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& x=\dfrac{7}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+2t$ xác định trên $\mathbb{R}$ có $f'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+2>0,\forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Mà $f\left( {{y}^{2}}+3 \right)=f\left( x \right)\Rightarrow {{y}^{2}}+3=x$.
Khi đó, ta có
$S=\dfrac{x+2{{y}^{4}}-3}{xy-3y}=\dfrac{{{y}^{2}}+3+2{{y}^{4}}-3}{\left( {{y}^{2}}+3 \right)y-3y}=\dfrac{{{y}^{2}}+2{{y}^{4}}}{{{y}^{3}}}=\dfrac{1}{y}+2y\ge 2\sqrt{2}, \forall y>0$.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{y}^{2}}+3=x \\
& 2{{y}^{2}}=1 \\
& x>0,y>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& x=\dfrac{7}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án C.