Google
Câu hỏi: Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}y\le {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x+{{y}^{2}} \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của biểu thức $P=x+3y$.
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{17}{2}$.
B. ${{P}_{\min }}=8$.
C. ${{P}_{\min }}=9$.
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{25\sqrt{2}}{4}$.
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{17}{2}$.
B. ${{P}_{\min }}=8$.
C. ${{P}_{\min }}=9$.
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{25\sqrt{2}}{4}$.
Điều kiện xác định của ${{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}y\le {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x+{{y}^{2}} \right)$ là $x>0$ và $y>0$.
Suy ra $x.y\ge x+{{y}^{2}}\Leftrightarrow x\left( y-1 \right)\ge {{y}^{2}}$, vì $x>0$ nên $y-1>0$. Do đó từ $x\left( y-1 \right)\ge {{y}^{2}}$ suy ra $x\ge \dfrac{{{y}^{2}}}{y-1}$.
$P=x+3y\ge \dfrac{{{y}^{2}}}{y-1}+3y=4\left( y-1 \right)+\dfrac{1}{y-1}+5\ge 2\sqrt{4\left( y-1 \right).\dfrac{1}{y-1}}+5=9$.
${{P}_{\min }}=9$ khi $4\left( y-1 \right)=\dfrac{1}{y-1}\Rightarrow 4{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=\dfrac{3}{2}\text{ (N)} \\
& y=\dfrac{1}{2}\text{ (L)} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $y=\dfrac{3}{2}$ ta tìm được $x=\dfrac{9}{2}.$
Suy ra $x.y\ge x+{{y}^{2}}\Leftrightarrow x\left( y-1 \right)\ge {{y}^{2}}$, vì $x>0$ nên $y-1>0$. Do đó từ $x\left( y-1 \right)\ge {{y}^{2}}$ suy ra $x\ge \dfrac{{{y}^{2}}}{y-1}$.
$P=x+3y\ge \dfrac{{{y}^{2}}}{y-1}+3y=4\left( y-1 \right)+\dfrac{1}{y-1}+5\ge 2\sqrt{4\left( y-1 \right).\dfrac{1}{y-1}}+5=9$.
${{P}_{\min }}=9$ khi $4\left( y-1 \right)=\dfrac{1}{y-1}\Rightarrow 4{{\left( y-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=\dfrac{3}{2}\text{ (N)} \\
& y=\dfrac{1}{2}\text{ (L)} \\
\end{aligned} \right.$.
Với $y=\dfrac{3}{2}$ ta tìm được $x=\dfrac{9}{2}.$
Đáp án C.