Google
Câu hỏi: Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn ${{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}y\le {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left(x+{{y}^{2}} \right).$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của biểu thức $P=x+3y.$
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{17}{2}$.
B. ${{P}_{\min }}=8$.
C. ${{P}_{\min }}=9$.
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{25\sqrt{2}}{4}$.
A. ${{P}_{\min }}=\dfrac{17}{2}$.
B. ${{P}_{\min }}=8$.
C. ${{P}_{\min }}=9$.
D. ${{P}_{\min }}=\dfrac{25\sqrt{2}}{4}$.
Ta có ${{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x+{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}y\le {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x+{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( xy \right)\le {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x+{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow xy\ge x+{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{y}^{2}}-xy+x\le 0.$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}\le \left( y-1 \right)x\Rightarrow y>1.$
Suy ra $x\ge \dfrac{{{y}^{2}}}{y-1}\Rightarrow P=x+3y\ge \dfrac{4{{y}^{2}}-3y}{y-1}=f\left( y \right)$, trên miền $\left( 1;+\infty \right).$
Ta có $f'\left( y \right)=\dfrac{4{{y}^{2}}-8y+3}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}},f'\left( y \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=\dfrac{1}{2}(l) \\
& y=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ${{P}_{\min }}=f\left( \dfrac{3}{2} \right)=9.$
$\Leftrightarrow {{y}^{2}}\le \left( y-1 \right)x\Rightarrow y>1.$
Suy ra $x\ge \dfrac{{{y}^{2}}}{y-1}\Rightarrow P=x+3y\ge \dfrac{4{{y}^{2}}-3y}{y-1}=f\left( y \right)$, trên miền $\left( 1;+\infty \right).$
Ta có $f'\left( y \right)=\dfrac{4{{y}^{2}}-8y+3}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}},f'\left( y \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=\dfrac{1}{2}(l) \\
& y=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ${{P}_{\min }}=f\left( \dfrac{3}{2} \right)=9.$
Đáp án C.