Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1...

Ta có
$\begin{aligned}
& \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right)={{\left( xy-1 \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+y}{xy} \right)={{\left( xy \right)}^{2}}-2xy+1 \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+y}{xy} \right)={{\left( xy \right)}^{2}}-2xy+1 \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+y \right)+{{\left( x+y \right)}^{2}}={{\log }_{2}}xy+{{\left( xy \right)}^{2}} \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\log t+{{t}^{2}}, \left( t>0 \right), f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 10}+2t>0,\forall t>0.$
Từ đó suy ra $x+y=xy\le \dfrac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}\Rightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}-4\left( \left[ x+y \right. \right)\ge 0\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
x+y\ge 4 \\
x+y\le 0 \\
\end{matrix} \right.$
Vì các số thực dương $x,y$ nên $x+y\ge 4\Rightarrow Min\left( x+y \right)=4$