Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1...

The Collectors · 14/3/22

Câu hỏi: Xét các số thực dương

x, y

thỏa mãn

(x^{2} + y^{2} + 1) + \log_{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = {(x y - 1)}^{2}

. Khi đó

x + y

đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A.

4

B.

8

C.

1

D.

\frac{9}{2}

Ta có

\begin{aligned} (x^{2} + y^{2} + 1) + \log_{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = {(x y - 1)}^{2} \\ \Leftrightarrow (x^{2} + y^{2} + 1) + \log_{2} (\frac{x + y}{x y}) = {(x y)}^{2} - 2 x y + 1 \end{aligned}

\begin{aligned} \Leftrightarrow (x^{2} + y^{2} + 1) + \log_{2} (\frac{x + y}{x y}) = {(x y)}^{2} - 2 x y + 1 \\ \Leftrightarrow \log_{2} (x + y) + {(x + y)}^{2} = \log_{2} x y + {(x y)}^{2} \end{aligned}

Xét hàm số

f (t) = \log t + t^{2}, (t > 0), f^{'} (t) = \frac{1}{t \ln 10} + 2 t > 0, \forall t > 0.

Từ đó suy ra

x + y = x y \leq \frac{{(x + y)}^{2}}{4} \Rightarrow {(x + y)}^{2} - 4 ([x + y) \geq 0 \Rightarrow [\begin{matrix} x + y \geq 4 \\ x + y \leq 0 \end{matrix}

Vì các số thực dương

x, y

nên

x + y \geq 4 \Rightarrow M i n (x + y) = 4

Đáp án A.

Xét các số thực dương x,y thỏa mãn $\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1...