Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\left( x-2 \right)\left( y+1...

Phương pháp:
- Xét hàm đặc trưng.
- Sử dụng BĐT Cô-si.
Cách giải:
Ta có
$\left( x-2 \right)\left( y+1 \right)={{\log }_{\sqrt{2}}}\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right)+3x$
$\Leftrightarrow xy-2y+x-2-3x={{\log }_{\sqrt{2}}}\dfrac{x+y}{xy}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt{2}}}\left( xy \right)+xy={{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x+y \right)+2+2\left( x+y \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt{2}}}\left( xy \right)+xy={{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 2x+2y \right)+\left( 2x+2y \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{\sqrt{2}}}t+t\left( t>0 \right)$ ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln \sqrt{2}}+1>0\forall t>0$ nên hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Mà $f\left( xy \right)=f\left( 2x+2y \right)$ nên $xy=2x+2y\Leftrightarrow y\left( x-2 \right)=2x\Leftrightarrow y=\dfrac{2x}{x-2}\left( x\ne 2 \right)$
Vì $x,y>0\Rightarrow x-2>0\Leftrightarrow x>2.$
Khi đó ta có:
$x+4y=x+\dfrac{8x}{x-2}=x+8+\dfrac{16}{x-2}=x-2+\dfrac{16}{x-2}+10$
$\ge 2.\sqrt{\left( x-2 \right).\dfrac{16}{x-2}}+10=2.4+10=18$
Dấu "=" xảy ra khi $x-2=\dfrac{16}{x-2}\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow x=6$ 9do $x>2$ ).
$\Rightarrow y=\dfrac{2x}{x-2}=\dfrac{2.6}{6-2}=3.$
Vậy $\dfrac{x}{y}=\dfrac{6}{3}=2.$