Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $2\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \right)+{{\log }_{2}}\left( \frac{2}{x}+\frac{2}{y}...

Ta có
$ 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4 \right)+{{\log }_{2}}\left( \frac{2}{x}+\frac{2}{y} \right)=\frac{1}{2}{{\left( xy-4 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{\left( x+y \right)}^{2}}-4xy+8+{{\log }_{2}}\left[ \frac{2\left( x+y \right)}{xy} \right]=\frac{1}{2}{{\left( xy \right)}^{2}}-4xy+8$
$\Leftrightarrow 2{{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}\left( x+y \right)=2{{\left( \frac{xy}{2} \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}\left( \frac{xy}{2} \right)$. $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}+{{\log }_{2}}t$, với $t>0$.
Có ${f}'\left( t \right)=4t+\frac{1}{t.\ln 2}>0, \forall t>0$.
Suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; +\infty \right)$.
Do đó
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x+y \right)=f\left( \frac{xy}{2} \right)\Leftrightarrow x+y=\frac{xy}{2}$ $\Leftrightarrow x\left( y-2 \right)=2y$.
Theo giả thiết $x, y>0$ nên suy ra $y>2$ và $x=\frac{2y}{y-2}=2+\frac{4}{y-2}>2$.
Đặt $P=x+4y$ $\Rightarrow P=\frac{2y}{y-2}+4y$ $=\left[ 4\left( y-2 \right)+\frac{4}{y-2} \right]+10$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $P\ge 2\sqrt{16}+10=18$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& y=3 \\
& x=\frac{2y}{y-2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=3 \\
& x=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \frac{x}{y}=2$.