Xét các số thực dương $a,b,c$ lớn hơn $1$ ( với $a>b$ ) thỏa mãn $4\left( {{\log }_{a}}c+{{\log }_{b}}c \right)=25{{\log }_{ab}}c$. Giá trị nhỏ...

Đặt ${{\log }_{c}}a=x,{{\log }_{c}}b=y$.
Vì $a,b,c>1$ và $a>b$ nên suy ra ${{\log }_{c}}a>{{\log }_{c}}b$ hay $x>y>0$.
Từ giả thiết suy ra: $4\left( \dfrac{1}{{{\log }_{c}}a}+\dfrac{1}{{{\log }_{c}}b} \right)=25.\dfrac{1}{{{\log }_{c}}ab}$ $\Leftrightarrow $ $\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}=\dfrac{25}{x+y}$
$\Leftrightarrow $ $\dfrac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{xy}=\dfrac{25}{4}$ $\Leftrightarrow $ $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{17}{4}$ $\Rightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& \dfrac{x}{y}=4 \\
& \dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow $ $ x=4y $ ( vì $ x>y$).
Ta có: ${{\log }_{b}}a+{{\log }_{a}}c+{{\log }_{c}}b=\dfrac{{{\log }_{c}}a}{{{\log }_{c}}b}+\dfrac{1}{{{\log }_{c}}a}+{{\log }_{c}}b$ $=$ $\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{x}+y$
$=$ $\dfrac{x}{y}+\dfrac{1}{4y}+y\ge 4+2\sqrt{\dfrac{1}{4y}.y}=5$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y=\dfrac{1}{2}$ và $x=2$, tức là $a={{c}^{2}};c={{b}^{2}}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho bằng $5$.
Cách khác
Từ giả thiết suy ra: $4\left( {{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c+{{\log }_{b}}c \right)=25.{{\log }_{ab}}b.{{\log }_{b}}c$
$\Leftrightarrow $ $4{{\log }_{b}}c\left( {{\log }_{a}}b+1 \right)=25\dfrac{{{\log }_{b}}c}{{{\log }_{b}}ab}$ $\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{b}}c=0 \\
& 4\left( {{\log }_{a}}b+1 \right)=\dfrac{25}{{{\log }_{b}}a+1} \\
\end{aligned} \right.$.
Do $a,b,c>1$ nên ${{\log }_{b}}c>0$ ; suy ra $4\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)\left( 1+{{\log }_{b}}a \right)=25$ $\Rightarrow $ ${{\log }_{a}}b=\dfrac{1}{4}$.
Khi đó: ${{\log }_{b}}a+{{\log }_{a}}c+{{\log }_{c}}b\ge 4+2\sqrt{{{\log }_{a}}c.{{\log }_{c}}b}=4+2\sqrt{{{\log }_{a}}b}=5$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng $5$ đạt được khi và chỉ khi $a={{b}^{4}},a={{c}^{2}},c={{b}^{2}}$.