Google
Câu hỏi: Xét các số thực $a$ thay đổi thỏa mãn $\left| a \right|\le 2$ và ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là các nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-az+1=0$. Gọi $A\left( \dfrac{7}{2};2 \right)$ và $M$, $N$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$. Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $AMN$ bằng
A. $\dfrac{7}{2}$.
B. $\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{15\sqrt{15}}{16}$.
D. $2\sqrt{3}$.
A. $\dfrac{7}{2}$.
B. $\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{15\sqrt{15}}{16}$.
D. $2\sqrt{3}$.
Phương trình ${{z}^{2}}-az+1=0$ có $\Delta ={{a}^{2}}-4\le 0$ (vì $\left| a \right|\le 2$ ) nên có hai nghiệm phức liên hợp ${{z}_{1}}=b+ci$ ; ${{z}_{2}}=b-ci$ (giả sử $c>0$ ).
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=a \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ b=\dfrac{a}{2} $ và $ {{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{a}^{2}}-4={{i}^{2}}\left( 4-{{a}^{2}} \right)$.
Do đó ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2ci=i\sqrt{4-{{a}^{2}}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2c=\sqrt{4-{{a}^{2}}}$.
Khi đó ${{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{7}{2}-b \right).2c=\dfrac{1}{4}\left( 7-a \right).\sqrt{4-{{a}^{2}}}$.
Xét $f\left( a \right)=\left( 7-a \right)\sqrt{4-{{a}^{2}}}$, với $-2\le a\le 2$ ; có ${f}'\left( a \right)=-\sqrt{4-{{a}^{2}}}+\left( 7-a \right)\dfrac{-a}{\sqrt{4-{{a}^{2}}}}$.
${f}'\left( a \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{4-{{a}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}-7a}{\sqrt{4-{{a}^{2}}}}$, (điều kiện $a<0$ )
$\Leftrightarrow 4-{{a}^{2}}={{a}^{2}}-7a\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-7a-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=4 \\
& a=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
So với điều kiện ta nhận $a=-\dfrac{1}{2}$. Khi đó ta có
$f\left( -2 \right)=0$ ; $f\left( 2 \right)=0$ ; $f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{15\sqrt{15}}{4}$.
Suy ra $\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{15\sqrt{15}}{4}\Rightarrow \max {{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{15\sqrt{15}}{4}=\dfrac{15\sqrt{15}}{16}$.
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $AMN$ là $\dfrac{15\sqrt{15}}{16}$.
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=a \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ b=\dfrac{a}{2} $ và $ {{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{a}^{2}}-4={{i}^{2}}\left( 4-{{a}^{2}} \right)$.
Do đó ${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=2ci=i\sqrt{4-{{a}^{2}}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2c=\sqrt{4-{{a}^{2}}}$.
Khi đó ${{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{7}{2}-b \right).2c=\dfrac{1}{4}\left( 7-a \right).\sqrt{4-{{a}^{2}}}$.
Xét $f\left( a \right)=\left( 7-a \right)\sqrt{4-{{a}^{2}}}$, với $-2\le a\le 2$ ; có ${f}'\left( a \right)=-\sqrt{4-{{a}^{2}}}+\left( 7-a \right)\dfrac{-a}{\sqrt{4-{{a}^{2}}}}$.
${f}'\left( a \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{4-{{a}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}-7a}{\sqrt{4-{{a}^{2}}}}$, (điều kiện $a<0$ )
$\Leftrightarrow 4-{{a}^{2}}={{a}^{2}}-7a\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-7a-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=4 \\
& a=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
So với điều kiện ta nhận $a=-\dfrac{1}{2}$. Khi đó ta có
$f\left( -2 \right)=0$ ; $f\left( 2 \right)=0$ ; $f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{15\sqrt{15}}{4}$.
Suy ra $\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( -\dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{15\sqrt{15}}{4}\Rightarrow \max {{S}_{AMN}}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{15\sqrt{15}}{4}=\dfrac{15\sqrt{15}}{16}$.
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $AMN$ là $\dfrac{15\sqrt{15}}{16}$.
Đáp án C.