Google
Câu hỏi: Xét các số thực a, bthỏa mãn $a>b>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của biểu thức
$P=\log _{\dfrac{a}{b}}^{2}\left( {{a}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\left( \dfrac{a}{b} \right)$
A. $P{{~}_{min}}=19.~$
B. $P{{~}_{min}}=13.$
C. $P{{~}_{min}}=14.$
D. $P{{~}_{min}}=15.$
$P=\log _{\dfrac{a}{b}}^{2}\left( {{a}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\left( \dfrac{a}{b} \right)$
A. $P{{~}_{min}}=19.~$
B. $P{{~}_{min}}=13.$
C. $P{{~}_{min}}=14.$
D. $P{{~}_{min}}=15.$
Phương pháp:
Áp dụng các tính chất của hàm logarit.
Cách giải:
Ta có $P=log_{^{\dfrac{a}{b}}}^{2}\left( {{\text{a}}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\dfrac{a}{b}$
$\Leftrightarrow P=4log_{\dfrac{a}{b}}^{2}a+3\left( lo{{g}_{b}}a-1 \right)~\Leftrightarrow P=\dfrac{4}{{{\left( 1-lo{{g}_{a}}b \right)}^{2}}}+3\left( \dfrac{1}{{{\log }_{a}}b}-1 \right)$
Đặt ${{\log }_{a}}b=t\Rightarrow 0<t<1$. Khi đó $P=\dfrac{4}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{3}{t}-3$
$P'=\dfrac{-8}{{{\left( t~-~1 \right)}^{2}}}-\dfrac{3}{{{t}^{2}}}=0$ ⇔ $3{{t}^{3}}-{{t}^{2}}+9t-3=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow {{P}_{min}}=15$.
Áp dụng các tính chất của hàm logarit.
Cách giải:
Ta có $P=log_{^{\dfrac{a}{b}}}^{2}\left( {{\text{a}}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\dfrac{a}{b}$
$\Leftrightarrow P=4log_{\dfrac{a}{b}}^{2}a+3\left( lo{{g}_{b}}a-1 \right)~\Leftrightarrow P=\dfrac{4}{{{\left( 1-lo{{g}_{a}}b \right)}^{2}}}+3\left( \dfrac{1}{{{\log }_{a}}b}-1 \right)$
Đặt ${{\log }_{a}}b=t\Rightarrow 0<t<1$. Khi đó $P=\dfrac{4}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{3}{t}-3$
$P'=\dfrac{-8}{{{\left( t~-~1 \right)}^{2}}}-\dfrac{3}{{{t}^{2}}}=0$ ⇔ $3{{t}^{3}}-{{t}^{2}}+9t-3=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow {{P}_{min}}=15$.
Đáp án D.