Xét các số thực $a, $ $b, $ $x$ thỏa mãn $a>1,$ $b>1,$ $0<x\ne 1$ và ${{a}^{{{\log }_{b}}x}}={{b}^{{{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}} \right)}}$...

Ta có ${{a}^{{{\log }_{b}}x}}={{b}^{{{\log }_{a}}({{x}^{2}})}}$ $\Leftrightarrow {{x}^{{{\log }_{b}}a}}={{x}^{2{{\log }_{a}}b}}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=2{{\log }_{a}}b$ (do $0<x\ne 1$ ) $\Leftrightarrow \frac{\ln a}{\ln b}=2.\frac{\ln b}{\ln a}$ $\Leftrightarrow {{\ln }^{2}}a=2.{{\ln }^{2}}b$.
Mà $a>1,$ $b>1$ $\Rightarrow \ln a>0; $ $\ln b>0$ $\Rightarrow \ln a=\sqrt{2}.\ln b$. Thay vào biểu thức ta được
$P={{\ln }^{2}}a+{{\ln }^{2}}b-\ln (ab)$ $=2{{\ln }^{2}}b+{{\ln }^{2}}b-\left( \sqrt{2}\ln b+\ln b \right)$ $=3{{\ln }^{2}}b-\left( \sqrt{2}+1 \right).\ln b$
$=3.\left( {{\ln }^{2}}b-\frac{\sqrt{2}+1}{3}.\ln b+\frac{3+2\sqrt{2}}{36} \right)-\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$ $=3.{{\left( \ln b-\frac{\sqrt{2}+1}{6} \right)}^{2}}-\frac{3+2\sqrt{2}}{12}\ge -\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\ln b=\frac{\sqrt{2}+1}{6}\Leftrightarrow $ $b={{\text{e}}^{\frac{\sqrt{2}+1}{6}}}$ ; $a={{\text{e}}^{\frac{\sqrt{2}+1}{3\sqrt{2}}}}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $-\frac{3+2\sqrt{2}}{12}.$