Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left| z \right|=2, \left| i w-2+5i \right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}-\text{w}z-4 \right|$ bằng

Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $w=x+yi;x,y\in \mathbb{R}.$ Ta có
$\left| iw-2+5i \right|=1\Leftrightarrow \left| i\left( x+yi \right)-2+5i \right|=1\Leftrightarrow {{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=1.$
Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm $I\left( -5;-2 \right),$ bán kính $R=1.$
Ta có: $P=\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|=\left| {{z}^{2}}-wz-{{\left| z \right|}^{2}} \right|=\left| {{z}^{2}}-wz-z.\overline{z} \right|=\left| z \right|\left| \left( z-\overline{z} \right)-w \right|=2\left| \left( z-\overline{z} \right)-w \right|.$
Đặt $z=a+bi;a,b\in \mathbb{R},$ do $\left| z \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4\Rightarrow -2\le b\le 2.$

Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức $z-\overline{z}=2bi\Rightarrow N\left( 0;2b \right)$ nên $N$ thuộc đoạn $AB,$ với $A\left( 0;4 \right),B\left( 0;-4 \right).$ Khi đó $P=2\left| \left( z-\overline{z} \right)-w \right|=2MN\ge 2CD=8,$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& M\equiv C \\
& N\equiv D \\
\end{aligned} \right..$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}-wz-4 \right|$ bằng 8.