Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $\left( 3-i \right)\left| z \right|=\dfrac{z}{w-1}+1-i$. Tìm giá trị lớn nhất của $T=\left| w+i \right|$
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\cdot $
B. $2\cdot $
C. $\dfrac{1}{2}\cdot $
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot $
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\cdot $
B. $2\cdot $
C. $\dfrac{1}{2}\cdot $
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot $
Ta có $\left( 3-i \right)\left| z \right|=\dfrac{z}{w-1}+1-i\Rightarrow \dfrac{z}{w-1}=\left( 3\left| z \right|-1 \right)+\left( 1-\left| z \right| \right)i\Rightarrow w-1=\dfrac{z}{\left( 3\left| z \right|-1 \right)+\left( 1-\left| z \right| \right)i}$
Lấy mođule 2 vế ta được
$\left| w-1 \right|=\dfrac{\left| z \right|}{\sqrt{{{\left( 3\left| z \right|-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-\left| z \right| \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| z \right|}{\sqrt{10{{\left| z \right|}^{2}}-8\left| z \right|+2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10-\dfrac{8}{\left| z \right|}+\dfrac{2}{{{\left| z \right|}^{2}}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2{{\left( \dfrac{1}{\left| z \right|}-2 \right)}^{2}}+2}}\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$T=\left| w+i \right|=\left| w-1+i+1 \right|\le \left| w-1 \right|+\left| i+1 \right|\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Vậy trị lớn nhất của $T=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Lấy mođule 2 vế ta được
$\left| w-1 \right|=\dfrac{\left| z \right|}{\sqrt{{{\left( 3\left| z \right|-1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-\left| z \right| \right)}^{2}}}}=\dfrac{\left| z \right|}{\sqrt{10{{\left| z \right|}^{2}}-8\left| z \right|+2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10-\dfrac{8}{\left| z \right|}+\dfrac{2}{{{\left| z \right|}^{2}}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2{{\left( \dfrac{1}{\left| z \right|}-2 \right)}^{2}}+2}}\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$T=\left| w+i \right|=\left| w-1+i+1 \right|\le \left| w-1 \right|+\left| i+1 \right|\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Vậy trị lớn nhất của $T=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
Đáp án A.