Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ và $\text{w}$ thỏa mãn $\left| z \right|=\left| \text{w} \right|=1,\left| z+\text{w} \right|=\sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z\text{w+2i}\left( z+\text{w} \right)-4 \right|$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{1+5\sqrt{2}}{4}$.
C. $5-2\sqrt{2}$.
D. $\sqrt{5}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
B. $\dfrac{1+5\sqrt{2}}{4}$.
C. $5-2\sqrt{2}$.
D. $\sqrt{5}$.
Do $\left| z \right|=\left| \text{w} \right|=1\Rightarrow z=\cos \alpha +i.\sin \alpha ,\text{w}=\cos \beta +i.\sin \beta $ $\left( \alpha ,\beta \in \mathbb{R} \right)$
Do $\left| z+\text{w} \right|=\sqrt{2}\Rightarrow \cos \left( \alpha -\beta \right)=0\Rightarrow \alpha -\beta =\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$. Chọ $k=0\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{2}+\beta $.
$\Rightarrow \text{w}=-\sin \alpha +i.cos\alpha $.
$P=\left| z+2i \right|.\left| \text{w}+2i \right|=\sqrt{5+4\sin \alpha }.\sqrt{5+4\cos \alpha }=\sqrt{25+20\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)+16\sin \alpha .cos\alpha }$
$$Đặt $t=\sin \alpha +\cos \alpha ,\left( -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} \right)\Rightarrow \sin \alpha .cos\alpha =\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$.
$\Rightarrow P=\sqrt{8{{t}^{2}}+20t+17}\ge \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $t=-\frac{5}{4}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Do $\left| z+\text{w} \right|=\sqrt{2}\Rightarrow \cos \left( \alpha -\beta \right)=0\Rightarrow \alpha -\beta =\dfrac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$. Chọ $k=0\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{2}+\beta $.
$\Rightarrow \text{w}=-\sin \alpha +i.cos\alpha $.
$P=\left| z+2i \right|.\left| \text{w}+2i \right|=\sqrt{5+4\sin \alpha }.\sqrt{5+4\cos \alpha }=\sqrt{25+20\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)+16\sin \alpha .cos\alpha }$
$$Đặt $t=\sin \alpha +\cos \alpha ,\left( -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2} \right)\Rightarrow \sin \alpha .cos\alpha =\frac{{{t}^{2}}-1}{2}$.
$\Rightarrow P=\sqrt{8{{t}^{2}}+20t+17}\ge \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Dấu bằng xảy ra khi $t=-\frac{5}{4}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án A.