Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|$. Gọi ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Giá trị của biểu thức ${{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}$ bằng
A. $6$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $4\sqrt{2}$.
D. $2$.
A. $6$.
B. $2\sqrt{2}$.
C. $4\sqrt{2}$.
D. $2$.
Đặt $z=a+bi ; a , b\in \mathbb{R}$.
$\left| {{z}^{2}}+1 \right|=\left| {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1+2abi \right|=\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$ ; $2\left| z \right|=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
Ta có $\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|\Rightarrow {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}=4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}+2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)+1-4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-2{{a}^{2}}-6{{b}^{2}}+1=0$
$\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-6\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+1=-4{{a}^{2}}$.
Vì $-4{{a}^{2}}\le 0 , \forall a\in \mathbb{R}$ nên ${{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-6\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+1\le 0\Rightarrow 3-2\sqrt{2}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 3+2\sqrt{2}$.
Suy ra $\sqrt{2}-1\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le \sqrt{2}+1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\sqrt{2}-1 \\
& M=\sqrt{2}+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}+{{M}^{2}}=6.$
$M=\sqrt{2}+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3+2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm \left( 1+\sqrt{2} \right) \\
\end{aligned} \right..$
$m=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\left| {{z}^{2}}+1 \right|=\left| {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1+2abi \right|=\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}}$ ; $2\left| z \right|=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$.
Ta có $\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|\Rightarrow {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+1 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}=4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{b}^{2}}+2\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)+1-4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-2{{a}^{2}}-6{{b}^{2}}+1=0$
$\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-6\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+1=-4{{a}^{2}}$.
Vì $-4{{a}^{2}}\le 0 , \forall a\in \mathbb{R}$ nên ${{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-6\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+1\le 0\Rightarrow 3-2\sqrt{2}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 3+2\sqrt{2}$.
Suy ra $\sqrt{2}-1\le \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le \sqrt{2}+1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\sqrt{2}-1 \\
& M=\sqrt{2}+1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}+{{M}^{2}}=6.$
$M=\sqrt{2}+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3+2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm \left( 1+\sqrt{2} \right) \\
\end{aligned} \right..$
$m=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=0 \\
& b=\pm \left( \sqrt{2}-1 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Đáp án A.