Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1 \right|=2.$ Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| z+2...

Cách giải:
Gọi $z=x+y i(x, y \in \mathbb{R})$ và $M(x ; y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$.
Gọi $I(1 ; 0)$ là điểm biều diễn số phức 1 .
Theo bài ra ta có $|z-1|=2 \Rightarrow I M=2 \Rightarrow M \in(1 ; 2)$.
Gọi $A(-2 ; 0)$ là điểm biểu diễn số phức $-2, B(3 ; 0)$ là điểm biểu diễn số phức 3 .
Ta có: $P=|z+2|+2|3-\bar{z}|=|z+2|+2|\overrightarrow{3-z}|=|z+2|+2|3-z|=M A+2 M B$.

Ta có $P=M A+2 M B \geq A B=5 \Rightarrow m=5 .$ Dấu "=" xảy ra khi $M \equiv B$.
Ta có: $\overrightarrow{I A}=-\dfrac{3}{2} \overrightarrow{I B}$.
$M A^{2}=(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I A})^{2}=M I^{2}+I A^{2}+2 \overrightarrow{M I} \cdot \overrightarrow{I A}=M I^{2}+I A^{2}-3 \overrightarrow{M I} \cdot \overrightarrow{I B}$

$M B^{2}=(\overrightarrow{M I}+\overrightarrow{I B})^{2}=M I^{2}+I B^{2}+2 \overrightarrow{M I} \overrightarrow{I B}$
$\Rightarrow M A^{2}+\dfrac{3}{2} M B^{2}=\dfrac{5}{2} M I^{2}+I A^{2}+\dfrac{3}{2} I B^{2}=5 R^{2}+I A^{2}+\dfrac{3}{2} I B^{2}=25$
Ta có: $\left(M A+2 M B^{2}\right)=\left(M A+\dfrac{2 \sqrt{6}}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{2} M B\right)^{2}=\dfrac{11}{3}\left(M A^{2}+\dfrac{3}{2} M B^{2}\right)=\dfrac{275}{3} .$
$\Rightarrow M=P_{m x x}=\dfrac{5 \sqrt{33}}{3} .$
Vậy $M+m=\dfrac{5 \sqrt{33}}{3}+5=\dfrac{15+5 \sqrt{33}}{3}$