Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left( \overline{z}+i \right)\left( z+2 \right)$ là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức $z$ là một đường tròn có bán kính bằng
A. $\dfrac{5}{4}$
B. 1
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
A. $\dfrac{5}{4}$
B. 1
C. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Gọi $z=a+bi,a,b\in \mathbb{R}.$
Ta có $\left( \overline{z}+i \right)\left( z+2 \right)=\left( a-bi+i \right)\left( a+bi+2 \right)=\left( {{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-b \right)+\left( a-2b+2 \right)i.$
Vì $\left( \overline{z}+i \right)\left( z+2 \right)$ là số thuần ảo nên ${{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-b=0\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}.$
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức $z$ là một đường tròn tâm $I\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$ có bán kính $R=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$
Ta có $\left( \overline{z}+i \right)\left( z+2 \right)=\left( a-bi+i \right)\left( a+bi+2 \right)=\left( {{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-b \right)+\left( a-2b+2 \right)i.$
Vì $\left( \overline{z}+i \right)\left( z+2 \right)$ là số thuần ảo nên ${{a}^{2}}+2a+{{b}^{2}}-b=0\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{5}{4}.$
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức $z$ là một đường tròn tâm $I\left( -1;\dfrac{1}{2} \right)$ có bán kính $R=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$
Đáp án C.