Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left( \overline{z}-4i \right)\left( z+4 \right)$ là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức $z$ là một đường tròn có bán kính bằng?
A. $2\sqrt{2}$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $2$.
D. $4$.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $\sqrt{2}$.
C. $2$.
D. $4$.
Gọi $z=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Khi đó,
$\begin{aligned}
& \left( \overline{z}-4i \right)\left( z+4 \right)={{\left| z \right|}^{2}}+4\overline{z}-4zi-16i={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4\left( x-yi \right)-4\left( x+yi \right)i-16i \\
& = \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y \right)+\left( -4y-4x-16 \right)i \\
\end{aligned}$
$\left( \overline{z}-4i \right)\left( z+4 \right)$ là số thuần ảo khi và chỉ khi ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y=0$. Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức $z$ là một đường tròn có bán kính bằng $R=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.
$\begin{aligned}
& \left( \overline{z}-4i \right)\left( z+4 \right)={{\left| z \right|}^{2}}+4\overline{z}-4zi-16i={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4\left( x-yi \right)-4\left( x+yi \right)i-16i \\
& = \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y \right)+\left( -4y-4x-16 \right)i \\
\end{aligned}$
$\left( \overline{z}-4i \right)\left( z+4 \right)$ là số thuần ảo khi và chỉ khi ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+4y=0$. Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức $z$ là một đường tròn có bán kính bằng $R=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$.
Đáp án A.