Google
Câu hỏi: Xét các số phức và thoả mãn $z\left( 1-w \right)=2+2wi$. Gọi $S$ là tập các số phức $z$ sao cho tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ là tia $Oy$. Giá trị lớn nhất của $P=\left| {{z}_{1}}-3+i \right|+\left| \left( 1+i \right){{z}_{2}}-4-2i \right|$ với ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}\in S$ là
A. $2$.
B. $4-\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $2-\sqrt{2}$.
A. $2$.
B. $4-\sqrt{2}$.
C. $\sqrt{2}$.
D. $2-\sqrt{2}$.
Ta có: $z\left( 1-w \right)=2+2wi\Leftrightarrow w=\dfrac{z-2}{z+2i}$ với $z\ne -2i$. Đặt $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$
Điều kiện $z\ne -2i$ tương đương với điểm $M$ không trùng với điểm $A\left( 0;-2 \right)$.
Ta có: $w=\dfrac{x-2+yi}{x+\left( y+2 \right)i}=\dfrac{\left( x-2+yi \right)\left[ x-\left( y+2 \right)i \right]}{{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y+\left( -2x+2y+4 \right)i}{{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ là tia $Oy\Leftrightarrow w$ là số thuần ảo và có phần ảo không âm$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0 \\
& -2x+2y+4\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2 \\
& -x+y+2\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right. \left( * \right)$.
Hệ $\left( * \right)$ chứng tỏ tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu là nửa đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;-1 \right)$, đường kính $AB$ và bỏ điểm $A\left( 0;-2 \right)$ (như hình vẽ)
Ta có: $P=\left| {{z}_{1}}-3+i \right|+\left| \left( 1+i \right){{z}_{2}}-4-2i \right|$
$=\left| {{z}_{1}}-\left( 3-i \right) \right|-\left| \left( 1+i \right) \right|\left| {{z}_{2}}-\left( 3-i \right) \right|=\left| {{z}_{1}}-\left( 3-i \right) \right|-\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-\left( 3-i \right) \right|$
Gọi ${{M}_{1}}, {{M}_{2}}, E$ lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}} ; {{z}_{2}}$ và ${z}'=3-i\Rightarrow {{M}_{1}};{{M}_{2}}$ thuộc nửa đường tròn $\left( C \right)$ và $E\left( 3;-1 \right)$. Khi đó $P=E{{M}_{1}}-\sqrt{2}E{{M}_{2}}$.
Gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng $EI$ và nửa đường tròn $\Rightarrow F\left( 1-\sqrt{2};-1 \right)$.
Dễ thấy $E{{M}_{1}}\le EF=EI+R=2+\sqrt{2}; E{{M}_{2}}\ge EB=\sqrt{2}$.
Khi đó: $P\le 2+\sqrt{2}-\sqrt{2}.\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Dấu bằng xảy ra khi ${{M}_{1}}\equiv F$ và ${{M}_{2}}\equiv B$.
Hay ${{z}_{1}}=1-\sqrt{2}-i$ và ${{z}_{2}}=2$. Vậy $\max P=\sqrt{2}$
Điều kiện $z\ne -2i$ tương đương với điểm $M$ không trùng với điểm $A\left( 0;-2 \right)$.
Ta có: $w=\dfrac{x-2+yi}{x+\left( y+2 \right)i}=\dfrac{\left( x-2+yi \right)\left[ x-\left( y+2 \right)i \right]}{{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y+\left( -2x+2y+4 \right)i}{{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ là tia $Oy\Leftrightarrow w$ là số thuần ảo và có phần ảo không âm$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y=0 \\
& -2x+2y+4\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2 \\
& -x+y+2\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right. \left( * \right)$.
Hệ $\left( * \right)$ chứng tỏ tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu là nửa đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;-1 \right)$, đường kính $AB$ và bỏ điểm $A\left( 0;-2 \right)$ (như hình vẽ)
Ta có: $P=\left| {{z}_{1}}-3+i \right|+\left| \left( 1+i \right){{z}_{2}}-4-2i \right|$
$=\left| {{z}_{1}}-\left( 3-i \right) \right|-\left| \left( 1+i \right) \right|\left| {{z}_{2}}-\left( 3-i \right) \right|=\left| {{z}_{1}}-\left( 3-i \right) \right|-\sqrt{2}\left| {{z}_{2}}-\left( 3-i \right) \right|$
Gọi ${{M}_{1}}, {{M}_{2}}, E$ lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức ${{z}_{1}} ; {{z}_{2}}$ và ${z}'=3-i\Rightarrow {{M}_{1}};{{M}_{2}}$ thuộc nửa đường tròn $\left( C \right)$ và $E\left( 3;-1 \right)$. Khi đó $P=E{{M}_{1}}-\sqrt{2}E{{M}_{2}}$.
Gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng $EI$ và nửa đường tròn $\Rightarrow F\left( 1-\sqrt{2};-1 \right)$.
Dễ thấy $E{{M}_{1}}\le EF=EI+R=2+\sqrt{2}; E{{M}_{2}}\ge EB=\sqrt{2}$.
Khi đó: $P\le 2+\sqrt{2}-\sqrt{2}.\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Dấu bằng xảy ra khi ${{M}_{1}}\equiv F$ và ${{M}_{2}}\equiv B$.
Hay ${{z}_{1}}=1-\sqrt{2}-i$ và ${{z}_{2}}=2$. Vậy $\max P=\sqrt{2}$
Đáp án C.