Xét bất phương trình $\log _{2}^{2}2x-2\left(m+1 \right){{\log...

Phương pháp:
- Đặt $t={{\log }_{2}}x,$ đưa về bất phương trình bậc hai ẩn $t$ (*).
- Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình theo $t.$
- Chứng minh để phương trình ban đầu phải có nghiệm thuộc khoảng $x\in \left( \sqrt{2};+\infty \right)$ nên phương trình (*) phải có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
- Để phương trình (*) có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)\Rightarrow S\cap \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)\ne \varnothing .$
- Giải bất phương trình chứa căn: $\sqrt{A}>B\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& A\ge B \\
& B<0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& B\ge 0 \\
& A>{{B}^{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right..$
Cách giải:
Ta có
$\log _{2}^{2}2x-2\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x-2<0$
$\Leftrightarrow {{\left( 1+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-2\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x-2<0$
$\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x+2{{\log }_{2}}x+1-2\left( m+1 \right){{\log }_{2}}x-2<0$
$\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-2m{{\log }_{2}}x-1<0$
Đặt $t={{\log }_{2}}x,$ phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-2mt-1<0\left( * \right).$
Ta có $\Delta '={{m}^{2}}+1>0\forall m$ nên tập nghiệm của bất phương trình (*) là: $t\in \left( m-\sqrt{{{m}^{2}}+1};m+\sqrt{{{m}^{2}}+1} \right)$
Vì phương trình ban đầu phải có nghiệm thuộc khoảng $x\in \left( \sqrt{2};+\infty \right)\Rightarrow t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$ nên phương trình (*) phải có nghiệm $t\in \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
$\Rightarrow \left( m-\sqrt{{{m}^{2}}+1};m+\sqrt{{{m}^{2}}+1} \right)\cap \left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)\ne \varnothing .$
$\Rightarrow m+\sqrt{{{m}^{2}}+1}>\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \sqrt{{{m}^{2}}+1}>\dfrac{1}{2}-m$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{2}-m<0 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{2}-m\ge 0 \\
& {{m}^{2}}+1>{{m}^{2}}-m+\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{1}{2} \\
& \left\{ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{1}{2} \\
& m>-\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>-\dfrac{3}{4}$
Vậy $m\in \left( -\dfrac{3}{4};+\infty \right)$.