Google
Câu hỏi: Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có bốn đỉnh $A, B, C, D$ và hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là $E, F$ (phần tô đậm của hình vẽ bên). Hai đường parabol có cùng trục đối xứng $AB$, đối xứng nhau qua trục $CD$, hai parabol cắt elip tại các điểm $M, N, P, Q$. Biết $AB=8 m, CD=6 m,$ $MN=PQ=3\sqrt{3} m, EF=2 m$. Chi phí để trồng hoa trên vườn là $300.000$ đ/ ${{m}^{2}}$. Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A. $4.477.800$ đồng.
B. $4.477.000$ đồng.
C. $4.477.815$ đồng.
D. $4.809.142$ đồng.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$, như hình vẽ.
Ta có: $CD=2a=6\Rightarrow a=3; AB=2b=8\Rightarrow b=4\Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1.$
Giả sử phương trình parabol phía trên trục $Ox$ là $\left( P \right):y=\text{a}{{x}^{2}}+bx+c,$ do điểm $F\left( 0;1 \right)$ là đỉnh của $\left( P \right)\Rightarrow b=0;c=1$, $\Rightarrow y=\text{a}{{x}^{2}}+1$.
Mà $\left( P \right)\cap \left( E \right)=\left\{ M,N \right\}, MN=3\sqrt{3}\Rightarrow N(\dfrac{3\sqrt{3}}{2};2).$
$N\in \left( P \right)\Rightarrow 2=a{{\left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+1\Leftrightarrow a=\dfrac{4}{27}\Rightarrow y=\dfrac{4}{27}{{x}^{2}}+1$.
Do có tính đối xứng của $\left( E \right), \left( P \right)$, suy ra diện tích cần tìm là
$S=4\left( \left| \int\limits_{0}^{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}{\left( \dfrac{4}{27}{{x}^{2}}+1 \right)\text{d}x} \right|+\left| \int\limits_{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}^{3}{\left( 4\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{9}} \right)\text{d}x} \right| \right)\approx 16.03 {{m}^{2}}$.
$\Rightarrow $ Số tiền trồng hoa cho cả vườn hoa là: $16.03\text{x}300.000=4.809.000$ đồng.
B. $4.477.000$ đồng.
C. $4.477.815$ đồng.
D. $4.809.142$ đồng.
Ta có: $CD=2a=6\Rightarrow a=3; AB=2b=8\Rightarrow b=4\Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1.$
Giả sử phương trình parabol phía trên trục $Ox$ là $\left( P \right):y=\text{a}{{x}^{2}}+bx+c,$ do điểm $F\left( 0;1 \right)$ là đỉnh của $\left( P \right)\Rightarrow b=0;c=1$, $\Rightarrow y=\text{a}{{x}^{2}}+1$.
Mà $\left( P \right)\cap \left( E \right)=\left\{ M,N \right\}, MN=3\sqrt{3}\Rightarrow N(\dfrac{3\sqrt{3}}{2};2).$
$N\in \left( P \right)\Rightarrow 2=a{{\left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+1\Leftrightarrow a=\dfrac{4}{27}\Rightarrow y=\dfrac{4}{27}{{x}^{2}}+1$.
Do có tính đối xứng của $\left( E \right), \left( P \right)$, suy ra diện tích cần tìm là
$S=4\left( \left| \int\limits_{0}^{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}{\left( \dfrac{4}{27}{{x}^{2}}+1 \right)\text{d}x} \right|+\left| \int\limits_{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}^{3}{\left( 4\sqrt{1-\dfrac{{{x}^{2}}}{9}} \right)\text{d}x} \right| \right)\approx 16.03 {{m}^{2}}$.
$\Rightarrow $ Số tiền trồng hoa cho cả vườn hoa là: $16.03\text{x}300.000=4.809.000$ đồng.
Đáp án D.