Với giá trị nào của m thì phương trình ${x+\sqrt{4-{{x}^{2}}}=m}$...

Tập xác định : $D=\left[ -2;2 \right]$
Đặt $f\left( x \right)=x+\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ Ta có $f'\left( x \right)=1-\dfrac{x}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{4-{{x}^{2}}-x}}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}$
$\begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{4-{{x}^{2}}}-x=0\Leftrightarrow \sqrt{4-{{x}^{2}}}=x \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& 4-{{x}^{2}}={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\sqrt{2\in }\left( -2;2 \right) \\
\end{aligned}$
Có $f\left( -2 \right)=-2;f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2};f\left( 2 \right)=2$
Suy ra $-2\le f\left( x \right)\le 2\sqrt{2}.$
Vậy để phương trình có nghiệm thì $-2\le m\le 2\sqrt{2}.$