Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+3}{x-1},$ biết tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

Phương pháp:
- Gọi $M\left({{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là: $y=f'\left({{x}_{0}} \right)\left(x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\left(d \right).$
- Xác định tọa độ các điểm $A=Ox\cap d, B=Oy\cap d.$
- Giải phương trình $OA=OB$ tìm ${{x}_{0}},$ từ đó suy ra các phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$ Ta có $y'=\dfrac{-4}{{{\left(x-1 \right)}^{2}}}.$
Gọi $M\left({{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là:
$y=\dfrac{-4}{{{\left({{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left(x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}\left(d \right)$
Gọi $A=d\cap Ox.$
Cho $y=0$
$\Rightarrow 0=\dfrac{-4}{{{\left({{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left(x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}$
$\Leftrightarrow 0=-4\left(x-{{x}_{0}} \right)+\left({{x}_{0}}+3 \right)\left({{x}_{0}}-1 \right)$
$\Leftrightarrow 0=-4x+4{{x}_{0}}+x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}-3$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3}{4}$
$\Rightarrow A\left(\dfrac{x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3}{4}; 0 \right)\Rightarrow OA=\dfrac{\left| x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3 \right|}{4}.$
Gọi $B=d\cap Oy.$
Cho $x=0.$
$\Rightarrow y=\dfrac{4{{x}_{0}}}{{{\left({{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}=\dfrac{4{{x}_{0}}+\left({{x}_{0}}+3 \right)\left({{x}_{0}}-1 \right)}{{{\left({{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}$
$=\dfrac{4{{x}_{0}}+x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}-3}{{{\left({{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3}{{{\left({{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow B\left(0;\dfrac{x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \right)\Rightarrow OB=\dfrac{\left| x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3 \right|}{{{\left({{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}$
Vì tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên $OA=OB.$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3 \right|}{4}=\dfrac{\left| x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3 \right|}{{{\left({{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \left| x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3 \right|\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \right)=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{{{\left({{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}=0$
(Do $A\ne B$ nên $x_{0}^{2}+6{{x}_{0}}-3\ne 0)$
$\Leftrightarrow {{\left({{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}-1=2 \\
& {{x}_{0}}-1=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=3 \\
& {{x}_{0}}=-1 \\
\end{aligned} \right.\left(tm \right).$
Với ${{x}_{0}}=3\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-1\left(x-3 \right)+3\Leftrightarrow y=-x+6.$
Với ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-1\left(x+1 \right)-1\Leftrightarrow y=-x-2.$