Bài toán
Một chất điểm là tổng hợp đồng thời 3 chất điểm dao động cùng phương có phương trình
$x_1=A\cos \left(\omega t\right)$, $x_2=3A\cos \left(3\omega t\right)$ ,$x_3=5A\cos \left(5\omega t\right)$
Vận tốc cực đại chất điểm là.
Lời giải
Ta sử dụng các công thức sau:
$$\cos 3a= 4 \cos ^3 a- 3 \cos a$$
$$\cos 5a=16 \cos ^5 a- 20 \cos ^3 a+ 5 \cos a$$
Khi đó phương trình dao động tổng hợp:
$$x=x_1+x_2+x_3=80A\cos ^5\left(\omega t\right)-88\cos ^3\left(\omega t\right)+17 \cos \left(\omega t\right)$$
$$v=x'=-\sin \left(\omega t\right) 400 \omega A \cos ^4\left( \omega t\right)+ \sin \left(\omega t\right) 264 \omega A \cos ^2 \left(\omega t\right)-\sin \left(\omega t\right) 17 \omega A$$
$$v= -\omega A \sin \left(\omega t\right) \left(400 \cos ^4\left(\omega t\right)-264 \cos ^2\left(\omega t\right)+17\right)$$
Đặt $t=\cos \left(\omega t\right)$. Khi đó $v=-\omega A \sqrt{1-t^2}\left(400t^4 -264 t^2+17\right)=-\omega A f\left(t\right)$, $t \in [-1;1]$
$$f'\left(t\right)=-\dfrac{t}{\sqrt{1-t^2}}\left(400t^4-264t^2+17\right)+\sqrt{1-t^2}\left(1600t^3-528t\right)$$
$$f'\left(t\right)=0 \Leftrightarrow t=0$$
Từ BBT ta thấy $max f\left(t\right)=f\left(\pm 1\right)=0$
Nên vận tốc lớn nhất của chất điểm bằng 0
Google
