Từ các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số...

Số cần lập là $\overline{abcd}$ chia hết cho 15 khi và chỉ khi vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5.
$\overline{abcd}\vdots 5\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& d=0 \\
& d=5 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi $d=0$, các số còn lại được phân thành ba nhóm:
Các số chia cho 3 dư 1: $\left\{ 1,4,7 \right\}$ ; chia cho 3 dư 2: $\left\{ 2,\text{ 5}\text{, }8 \right\}$ ; chia cho 3 dư 0: $\left\{ 9 \right\}$.
Ta có $\overline{abc0}\vdots 15\Leftrightarrow a+b+c\vdots 3$. Khi đó xảy ra một trong các trường hợp:
+ $a$, $b$, $c$ là một hoán vị của 1, 4, 7
+ $a$, $b$, $c$ là một hoán vị của 2, 5, 8
+ $a$, $b$, $c$ là một hoán vị của $x$, $y$, $z$ với $x\in \left\{ 1 , 4 , 7 \right\}$ ; $y\in \left\{ 2 , 5 , 8 \right\}$ và $z=9$.
Vậy khi $d=0$ ta có $\left( 1+1+3.3.1 \right).3!=66$ số.
Khi $d=5$. Các số còn lại được phân thành ba nhóm:
Các số chia cho 3 dư 1: $\left\{ 1 ; 4 ; 7 \right\}$ ; chia cho 3 dư 2: $\left\{ 2,8 \right\}$ ; chia cho 3 dư 0: $\left\{ 0,9 \right\}$.
Ta có $\overline{abc5}\vdots 15$ khi và chỉ khi $a\ne 0$ và $a+b+c$ chia cho $3$ dư $1$. Xét các trường hợp:
* $b=0$ thì $a$, $c$ phải là hoán vị của $x$, $y$ ; trong đó $\left\{ x ; y \right\}=\left\{ 2 ; 8 \right\}$ hoặc $x=9$ ; $y\in \left\{ 1 ; 4 ; 7 \right\}$. Trường hợp này có $(1+3).2!=8$ số.
* $c=0$, tương tự ta có $8$ số.
* $a$, $b$ và $c$ đều khác $0$. Khi đó xảy ra một trong các trường hợp:
+ $a$, $b$, $c$ là một hoán vị của 2, 8, 9
+ $a$, $b$, $c$ là một hoán vị của $x$, $y$, $z$ với $\left\{ x,y \right\}\subset \left\{ 1,4,7 \right\}$ và $z\in \left\{ 2,8 \right\}$.
Trường hợp này có $\left( 1+C_{3}^{2}.C_{2}^{1} \right)3!=42$ số.
Vậy khi $d=5$ ta có $8+8+42=58$ số.
Tổng cộng ta lập được: $66+58=124$ số thỏa điều kiện bài toán.