Google
Câu hỏi: Trong thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp ${{O}_{1}}$ và ${{O}_{2}}$ dao động cùng pha, cùng biên độ. Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Oxy thuộc mặt nước với gốc tọa độ là vị trí đặt nguồn ${{O}_{1}}$ còn nguồn ${{O}_{2}}$ nằm trên trục Oy. Hai điểm P và Q nằm trên $Ox$ có $OP=4,5 cm$ và $OQ=8 cm.$ Dịch chuyển nguồn ${{O}_{2}}$ trên trục Oy đến vị trí sao cho góc $P{{O}_{2}}Q$ có giá trị lớn nhất thì phần tử nước tại P không dao động còn phần tử nước tại Q dao động với biên độ cực đại. Biết giữa P và Q còn có thêm một cực đại. Trên đoạn OP, điểm gần P nhất mà các phần tử nước dao động với biên độ cực đại cách P một đoạn là
A. 3,733 cm.
B. 2 cm.
C. 2,5 cm.
D. 0,767 cm.
A. 3,733 cm.
B. 2 cm.
C. 2,5 cm.
D. 0,767 cm.
Ta có: $\tan \widehat{P{{O}_{2}}Q}=\tan \left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)=\dfrac{\tan {{\varphi }_{2}}-\tan {{\varphi }_{1}}}{1+\tan {{\varphi }_{2}}\tan {{\varphi }_{1}}}=\dfrac{\dfrac{{{O}_{1}}Q}{a}-\dfrac{{{O}_{1}}P}{a}}{1+\dfrac{{{O}_{1}}Q}{a}.\dfrac{{{O}_{1}}P}{a}}=\dfrac{{{O}_{1}}Q-{{O}_{1}}P}{a+\dfrac{O{_{1}}Q.{{O}_{1}}P}{a}}$ với $a={{O}_{1}}{{O}_{2}}.$
Góc $\widehat{P{{O}_{2}}Q}$ lớn nhất $\Leftrightarrow {{\left( \tan \widehat{P{{O}_{2}}Q} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( a+\dfrac{{{O}_{1}}Q.{{O}_{1}}P}{a} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow a=\sqrt{{{O}_{1}}Q.{{O}_{1}}P}=6 cm.$
$P{{O}_{2}}=\sqrt{{{O}_{1}}{{P}^{2}}+{{a}^{2}}}=7,5\left( cm \right),Q{{O}_{2}}=P{{O}_{2}}=\sqrt{{{O}_{1}}{{Q}^{2}}+{{a}^{2}}}=10 cm.$
Theo giả thiết: P là cực tiểu, Q là cực đại và giữa hai điểm có một cực đại
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& P{{O}_{2}}-P{{O}_{1}}=7,5-4,5=\left( k+0,5 \right)\lambda \\
& Q{{O}_{2}}-Q{{O}_{1}}=10-8=\left( k-1 \right)\lambda \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \lambda =\dfrac{2}{3}cm \\
& k=4 \\
\end{aligned} \right.$
Điểm P là cực tiểu ứng với hiệu đường đi bằng $4,5\lambda $, nên nếu N là cực đại thuộc OP và gần P nhất thì phải có hiệu đường đi bằng $5\lambda $, tức là $N{{O}_{2}}-N{{O}_{1}}=5\lambda .$
$\Rightarrow \sqrt{O{{N}^{2}}+{{a}^{2}}}-ON=5\lambda \Rightarrow \sqrt{O{{N}^{2}}+36}-ON=\dfrac{10}{3}.$
$\Rightarrow ON\approx 3,733\left( cm \right)\Rightarrow PN=PO-ON=0,767 cm.$
Góc $\widehat{P{{O}_{2}}Q}$ lớn nhất $\Leftrightarrow {{\left( \tan \widehat{P{{O}_{2}}Q} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( a+\dfrac{{{O}_{1}}Q.{{O}_{1}}P}{a} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow a=\sqrt{{{O}_{1}}Q.{{O}_{1}}P}=6 cm.$
$P{{O}_{2}}=\sqrt{{{O}_{1}}{{P}^{2}}+{{a}^{2}}}=7,5\left( cm \right),Q{{O}_{2}}=P{{O}_{2}}=\sqrt{{{O}_{1}}{{Q}^{2}}+{{a}^{2}}}=10 cm.$
Theo giả thiết: P là cực tiểu, Q là cực đại và giữa hai điểm có một cực đại
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& P{{O}_{2}}-P{{O}_{1}}=7,5-4,5=\left( k+0,5 \right)\lambda \\
& Q{{O}_{2}}-Q{{O}_{1}}=10-8=\left( k-1 \right)\lambda \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \lambda =\dfrac{2}{3}cm \\
& k=4 \\
\end{aligned} \right.$
Điểm P là cực tiểu ứng với hiệu đường đi bằng $4,5\lambda $, nên nếu N là cực đại thuộc OP và gần P nhất thì phải có hiệu đường đi bằng $5\lambda $, tức là $N{{O}_{2}}-N{{O}_{1}}=5\lambda .$
$\Rightarrow \sqrt{O{{N}^{2}}+{{a}^{2}}}-ON=5\lambda \Rightarrow \sqrt{O{{N}^{2}}+36}-ON=\dfrac{10}{3}.$
$\Rightarrow ON\approx 3,733\left( cm \right)\Rightarrow PN=PO-ON=0,767 cm.$
Đáp án D.