Google
Câu hỏi: Trong thí nghiệm giao thoa sóng ở mặt nước, hai nguồn kết hợp đặt tại hai điểm $A$ và $B$, dao động cùng pha theo phương thẳng đứng. Trên đoạn $AB$ quan sát được 13 cực đại giao thoa. Ở mặt nước, đường tròn $(C)$ có tâm $O$ thuộc trung trực $AB$ và bán kính $a$ không đổi ( $2a<AB$ ). Khi di chuyển $(C)$ trên mặt nước sao cho tâm $O$ luôn nằm trên đường trung trực của $AB$ thì thấy trên $(C)$ có tối đa 12 cực đại giao thoa. Khi trên $(C)$ có 12 điểm cực đại giao thoa thì trong số đó có 4 điểm mà phần tử tại đó dao động ngược pha với nguồn. Đoạn thẳng $AB$ gần nhất giá trị nào sau đây?
A. $4,3a$.
B. $4,1a$.
C. $4,4a$.
D. $4,7a$.
Trên $AB$ có 12 cực đại
$6\lambda <AB<7\lambda $ → $6<AB<7$, chọn $\lambda =1$
Dễ thấy rằng, khi di chuyển $(C)$ mà trên $(C)$ có tối đa 12 cực đại tương ứng với tâm $O$ trùng với trung điểm của $AB$ đồng thời giao điểm của $(C)$ với $AB$ là hai cực đại ứng với $k=\pm 3$.
→ $a=1,5$
Trên $(C)$ có 4 cực đại ngược pha với nguồn thì các cực đại này chỉ có thể ứng với $k=\pm 1,\pm 2$.
Ta xét cực đại $k=1$
${{d}_{1}}-{{d}_{2}}=1$ (1)
Để cùng ngược với nguồn thì
${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=n$ với $n=8,10,12,...$ (2)
Mặc khác
${{d}_{1}}+{{d}_{2}}\le 2\sqrt{{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$
→ ${{d}_{1}}+{{d}_{2}}<2\sqrt{\left( \dfrac{AB}{2} \right)_{max}^{2}+{{a}^{2}}}=2\sqrt{\left( \dfrac{7}{2} \right)_{max}^{2}+{{\left( 1,5 \right)}^{2}}}<7,6$ (3)
(2) và (3) → cực đại ngược pha nguồn không nằm tồn tại trên $k=1$.
Ta xét cực đại $k=2$
${{d}_{1}}-{{d}_{2}}=2$
Để cùng ngược với nguồn thì
${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=n$ với $n=7,9,11,...$
Kết hợp với điều kiện (3) → ${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=7$
→ ${{d}_{1}}=4,5$ và ${{d}_{1}}=2,5$
Áp dụng công thức đường trung tuyến
${{a}^{2}}=\dfrac{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$
→ $AB=6,6\lambda =4,4a$
A. $4,3a$.
B. $4,1a$.
C. $4,4a$.
D. $4,7a$.
Trên $AB$ có 12 cực đại
$6\lambda <AB<7\lambda $ → $6<AB<7$, chọn $\lambda =1$
Dễ thấy rằng, khi di chuyển $(C)$ mà trên $(C)$ có tối đa 12 cực đại tương ứng với tâm $O$ trùng với trung điểm của $AB$ đồng thời giao điểm của $(C)$ với $AB$ là hai cực đại ứng với $k=\pm 3$.
→ $a=1,5$
Trên $(C)$ có 4 cực đại ngược pha với nguồn thì các cực đại này chỉ có thể ứng với $k=\pm 1,\pm 2$.
Ta xét cực đại $k=1$
${{d}_{1}}-{{d}_{2}}=1$ (1)
Để cùng ngược với nguồn thì
${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=n$ với $n=8,10,12,...$ (2)
Mặc khác
${{d}_{1}}+{{d}_{2}}\le 2\sqrt{{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}$
→ ${{d}_{1}}+{{d}_{2}}<2\sqrt{\left( \dfrac{AB}{2} \right)_{max}^{2}+{{a}^{2}}}=2\sqrt{\left( \dfrac{7}{2} \right)_{max}^{2}+{{\left( 1,5 \right)}^{2}}}<7,6$ (3)
(2) và (3) → cực đại ngược pha nguồn không nằm tồn tại trên $k=1$.
Ta xét cực đại $k=2$
${{d}_{1}}-{{d}_{2}}=2$
Để cùng ngược với nguồn thì
${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=n$ với $n=7,9,11,...$
Kết hợp với điều kiện (3) → ${{d}_{1}}+{{d}_{2}}=7$
→ ${{d}_{1}}=4,5$ và ${{d}_{1}}=2,5$
Áp dụng công thức đường trung tuyến
${{a}^{2}}=\dfrac{d_{1}^{2}+d_{2}^{2}}{2}-\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$
→ $AB=6,6\lambda =4,4a$
Đáp án C.