Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều nội tiếp khối cầu có bán kính bằng 9, khối chóp có thể tích lớn nhất bằng

Giả sử khối chóp đó là $S.ABCD$. Gọi $I$ là tâm của hình vuông thì $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và $SO$ là trục đường tròn ngoại tiếp đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $SA.$ Trong mặt phẳng $\left( SAI \right)$ đường trung trực của $SA$ cắt $SI$ tại $O$ thì $OA=OB=OC=OS\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu.
Hai tam giác vuông $SMO,SIA$ đồng dạng $\Rightarrow \dfrac{SO}{SA}=\dfrac{SM}{SI}\Rightarrow SO=\dfrac{SM.SA}{SI}=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2.SI}=9.$
$\Rightarrow \dfrac{S{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}}{SI}=18$
Mặt khác
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SI.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SI.\dfrac{A{{C}^{2}}}{2}=\dfrac{2}{3}.SI.A{{I}^{2}}=\dfrac{2}{3}SI.\left( 18.SI-S{{I}^{2}} \right).$
Đặt $SI=t\left( 0<t<18 \right)$ xét hàm số:
$f\left( t \right)=\dfrac{2}{3}{{t}^{2}}\left( 18-t \right)=\dfrac{8}{3}.\left( \dfrac{t}{2}.\dfrac{t}{2}.\left( 18-t \right) \right)\le \dfrac{8}{3}{{\left( \dfrac{t+18-t}{3} \right)}^{3}}=576.$
Dấu "=" xảy ra: $\dfrac{t}{2}=18-t\Leftrightarrow t=12.$
Suy ra, thể tích khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất là $576$ khi $SI=12.$