Google
Câu hỏi: Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng $a,$ thể tích $V$ của khối chóp có thể tích nhỏ nhất là:
A. $V=\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$
B. $V=\dfrac{10{{a}^{3}}}{3}$
C. $V=2{{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{32{{a}^{3}}}{3}$
A. $V=\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$
B. $V=\dfrac{10{{a}^{3}}}{3}$
C. $V=2{{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{32{{a}^{3}}}{3}$
Phương pháp:
- Giả sử ta có khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp $S.ABCD$
- Đặt $SO=x>a,$ tính $SI,SH$ theo $x,a.$
- Sử dụng $\Delta SIH\backsim \Delta SMO\left( g.g \right),$ tính $OM$ theo $x,a$ từ đó tính ${{S}_{ABCD}}$ theo $x,a.$
- Tính ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}$ theo $x,a.$
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của ${{V}_{S.ABCD}}$.
Cách giải:
Giả sử ta có khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$.
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC.$ Trong $\left( SMN \right)$ dựng tia phân giác của góc $\angle SMN$ cắt $SO$ tại $I\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp $S.ABCD$.
Kẻ $IH\bot SM\left( H\in SM \right)$ ta có $r=IH=IO=a$ là bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp $S.ABCD$.
Đặt $SO=x>a\Rightarrow SI=SO-IO=x-a$
Áp dụng định lý Pytago ta có $SH=\sqrt{S{{I}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-2ax}.$
Vì $\Delta SIH\backsim \Delta SMO\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{SH}{SO}=\dfrac{IH}{OM}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-2ax}}{x}=\dfrac{a}{OM}\Rightarrow OM=\dfrac{ax}{\sqrt{{{x}^{2}}-2ax}}$
$\Rightarrow AB=2OM=\dfrac{2ax}{\sqrt{{{x}^{2}}-2ax}}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-2ax}$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}x.\dfrac{4{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-2ax}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}.\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-2ax}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-2ax}\left( x>0 \right)$ ta có
$f'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}.\left( {{x}^{2}}-2ax \right)-{{x}^{3}}.\left( 2x-2a \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2ax \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{4}}-6a{{x}^{3}}-2{{x}^{4}}+2a{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{2}}-2ax \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}-4a{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{2}}-2ax \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( x-4a \right)=0\Leftrightarrow x=4a\left( tm \right)$
$\Rightarrow \underset{\left( a;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 4a \right)=\dfrac{64{{a}^{3}}}{{{\left( 4a \right)}^{2}}-2a.4a}=8a.$
Vậy $\min {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}.8a=\dfrac{32{{a}^{3}}}{3}$, đạt được khi $SO=4a.$
- Giả sử ta có khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp $S.ABCD$
- Đặt $SO=x>a,$ tính $SI,SH$ theo $x,a.$
- Sử dụng $\Delta SIH\backsim \Delta SMO\left( g.g \right),$ tính $OM$ theo $x,a$ từ đó tính ${{S}_{ABCD}}$ theo $x,a.$
- Tính ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}$ theo $x,a.$
- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTNN của ${{V}_{S.ABCD}}$.
Cách giải:
Giả sử ta có khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$.
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC.$ Trong $\left( SMN \right)$ dựng tia phân giác của góc $\angle SMN$ cắt $SO$ tại $I\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp $S.ABCD$.
Kẻ $IH\bot SM\left( H\in SM \right)$ ta có $r=IH=IO=a$ là bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp $S.ABCD$.
Đặt $SO=x>a\Rightarrow SI=SO-IO=x-a$
Áp dụng định lý Pytago ta có $SH=\sqrt{S{{I}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-a \right)}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-2ax}.$
Vì $\Delta SIH\backsim \Delta SMO\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{SH}{SO}=\dfrac{IH}{OM}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-2ax}}{x}=\dfrac{a}{OM}\Rightarrow OM=\dfrac{ax}{\sqrt{{{x}^{2}}-2ax}}$
$\Rightarrow AB=2OM=\dfrac{2ax}{\sqrt{{{x}^{2}}-2ax}}\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-2ax}$
$\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}x.\dfrac{4{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-2ax}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}.\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-2ax}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-2ax}\left( x>0 \right)$ ta có
$f'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}.\left( {{x}^{2}}-2ax \right)-{{x}^{3}}.\left( 2x-2a \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2ax \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{4}}-6a{{x}^{3}}-2{{x}^{4}}+2a{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{2}}-2ax \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}-4a{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{2}}-2ax \right)}^{2}}}$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( x-4a \right)=0\Leftrightarrow x=4a\left( tm \right)$
$\Rightarrow \underset{\left( a;+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 4a \right)=\dfrac{64{{a}^{3}}}{{{\left( 4a \right)}^{2}}-2a.4a}=8a.$
Vậy $\min {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}.8a=\dfrac{32{{a}^{3}}}{3}$, đạt được khi $SO=4a.$
Đáp án D.