Google
Câu hỏi: Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp O1 và O2 dao động cùng pha, cùng biên độ. Chọn hệ tọa độ vuông góc Oxy với gốc tọa độ là vị trí đặt nguồn O1, còn nguồn O2 nằm trên trục chính Oy. Hai điểm M và N di động trên trục Ox thỏa mãn OM = a, ON = b (a < b). Biết rằng ab = 324 (cm2); O1O2 = 18 (cm) và b thuộc đoạn $\left[ 21,6;24 \right]$ (cm). Khi góc MO2N có giá trị lớn nhất thì thấy rằng M và N dao động với biên độ cực đại và giữa chúng có hai cực tiểu. Hỏi có bao nhiêu điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn nối hai nguồn?
A. 22.
B. 23.
C. 21.
D. 25.
A. 22.
B. 23.
C. 21.
D. 25.
Ta có: $\tan \widehat{M{{O}_{2}}N}=\tan \left( \widehat{{{O}_{1}}{{O}_{2}}N}-\widehat{{{O}_{1}}{{O}_{2}}M} \right)=\dfrac{\tan \widehat{{{O}_{1}}{{O}_{2}}N}-\tan \widehat{{{O}_{1}}{{O}_{2}}M}}{1+\tan \widehat{{{O}_{1}}{{O}_{2}}N}.\tan \widehat{{{O}_{1}}{{O}_{2}}M}}$
Trong đó : $\tan \widehat{{{O}_{1}}{{O}_{2}}N}=\dfrac{b}{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}=\dfrac{b}{18};\tan \widehat{{{O}_{1}}{{O}_{2}}M}=\dfrac{a}{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}=\dfrac{a}{18}$.
$\Rightarrow \tan \widehat{M{{O}_{2}}N}=\dfrac{\dfrac{b}{18}-\dfrac{a}{18}}{1+\dfrac{b}{18}.\dfrac{a}{18}}=\dfrac{b-a}{18+\dfrac{ab}{18}}$
Từ giả thiết : $ab=324\Rightarrow a=\dfrac{324}{b}$
$\Rightarrow \tan \widehat{M{{O}_{2}}N}=\dfrac{b-\dfrac{324}{b}}{18+\dfrac{\dfrac{324}{b}.b}{18}}=\dfrac{1}{36}\left( b-\dfrac{324}{b} \right)$
Xét hàm số: $f\left( b \right)=\dfrac{1}{36}\left( b-\dfrac{324}{b} \right)$ với $b\in \left[ 21,6;24 \right]$.
Ta có: ${f}'\left( b \right)=\dfrac{1}{36}\left( 1+\dfrac{324}{{{b}^{2}}} \right)>0$ với $\forall b\in \left[ 21,6;24 \right]$ do đó
$f{{\left( b \right)}_{\max }}\Leftrightarrow b=24cm\Rightarrow a=\dfrac{324}{24}=13,5cm$
$\Rightarrow {{O}_{2}}N=\sqrt{{{O}_{1}}O_{2}^{2}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{18}^{2}}+{{24}^{2}}}=30cm$
$\Rightarrow {{O}_{2}}M=\sqrt{{{O}_{1}}O_{2}^{2}+{{a}^{2}}}=\sqrt{{{18}^{2}}+{{13,5}^{2}}}=22,5cm$
Điểm M và N dao động với biên độ cực đại khi :
$\left\{ \begin{aligned}
& {{O}_{2}}N-{{O}_{1}}N={{k}_{1}}\lambda \\
& {{O}_{2}}M-{{O}_{1}}M={{k}_{2}}\lambda \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{k}_{1}}\lambda =30-24=6cm \\
& {{k}_{2}}\lambda =22,5-13,5=9cm \\
\end{aligned} \right.$
Giữa M và N có hai điểm cực tiểu nên : ${{k}_{2}}={{k}_{1}}+2\Leftrightarrow \dfrac{9}{\lambda }=\dfrac{6}{\lambda }+2\Rightarrow \lambda =1,5\left( cm \right)$.
Số dao động với biên độ cực đại trên đoạn nối hai nguồn là số giá trị k thỏa mãn :
$-\dfrac{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}{\lambda }<k<\dfrac{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}{\lambda }\Leftrightarrow -\dfrac{18}{1,5}<k<\dfrac{18}{1,5}\Leftrightarrow -12<k<12$
Có tất cả 23 giá trị k thỏa mãn.
Trong đó : $\tan \widehat{{{O}_{1}}{{O}_{2}}N}=\dfrac{b}{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}=\dfrac{b}{18};\tan \widehat{{{O}_{1}}{{O}_{2}}M}=\dfrac{a}{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}=\dfrac{a}{18}$.
$\Rightarrow \tan \widehat{M{{O}_{2}}N}=\dfrac{\dfrac{b}{18}-\dfrac{a}{18}}{1+\dfrac{b}{18}.\dfrac{a}{18}}=\dfrac{b-a}{18+\dfrac{ab}{18}}$
Từ giả thiết : $ab=324\Rightarrow a=\dfrac{324}{b}$
$\Rightarrow \tan \widehat{M{{O}_{2}}N}=\dfrac{b-\dfrac{324}{b}}{18+\dfrac{\dfrac{324}{b}.b}{18}}=\dfrac{1}{36}\left( b-\dfrac{324}{b} \right)$
Xét hàm số: $f\left( b \right)=\dfrac{1}{36}\left( b-\dfrac{324}{b} \right)$ với $b\in \left[ 21,6;24 \right]$.
Ta có: ${f}'\left( b \right)=\dfrac{1}{36}\left( 1+\dfrac{324}{{{b}^{2}}} \right)>0$ với $\forall b\in \left[ 21,6;24 \right]$ do đó
$f{{\left( b \right)}_{\max }}\Leftrightarrow b=24cm\Rightarrow a=\dfrac{324}{24}=13,5cm$
$\Rightarrow {{O}_{2}}N=\sqrt{{{O}_{1}}O_{2}^{2}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{18}^{2}}+{{24}^{2}}}=30cm$
$\Rightarrow {{O}_{2}}M=\sqrt{{{O}_{1}}O_{2}^{2}+{{a}^{2}}}=\sqrt{{{18}^{2}}+{{13,5}^{2}}}=22,5cm$
Điểm M và N dao động với biên độ cực đại khi :
$\left\{ \begin{aligned}
& {{O}_{2}}N-{{O}_{1}}N={{k}_{1}}\lambda \\
& {{O}_{2}}M-{{O}_{1}}M={{k}_{2}}\lambda \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{k}_{1}}\lambda =30-24=6cm \\
& {{k}_{2}}\lambda =22,5-13,5=9cm \\
\end{aligned} \right.$
Giữa M và N có hai điểm cực tiểu nên : ${{k}_{2}}={{k}_{1}}+2\Leftrightarrow \dfrac{9}{\lambda }=\dfrac{6}{\lambda }+2\Rightarrow \lambda =1,5\left( cm \right)$.
Số dao động với biên độ cực đại trên đoạn nối hai nguồn là số giá trị k thỏa mãn :
$-\dfrac{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}{\lambda }<k<\dfrac{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}{\lambda }\Leftrightarrow -\dfrac{18}{1,5}<k<\dfrac{18}{1,5}\Leftrightarrow -12<k<12$
Có tất cả 23 giá trị k thỏa mãn.
Đáp án B.