Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+i...

Phương pháp:
- Thay $z=a+bi$ vào lần lượt 2 giả thiết. Từ đó suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $z.$
- Sử dụng phương pháp hình học tìm vị trí điểm $M$ để $M{{A}_{\min }}.$
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
+) $\left| z+i \right|\le \sqrt{10}\Leftrightarrow \left| a+bi+i \right|\le \sqrt{10}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}\le 10.$
+) $w=\left( 1+i \right)\overline{z}+2z+1=\left( 1+i \right)\left( a-bi \right)+2\left( a+bi \right)+1$
$=a-bi+ai+b+2a+2bi+1$
$=3a+b+1+\left( a+b \right)i$
Là số thuần ảo $\Rightarrow 3a+b+1=0.$
$\Rightarrow $ Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là giao điểm của hình tròn ${{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=10\left( C \right)$ và đường thẳng $3x+y+z=0\left( d \right).$
$\Rightarrow $ Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là đoạn thẳng $E,F,$ với $E,F=\left( C \right)\cap \left( d \right).$
Tọa độ $E,F$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=10 \\
& 3x+y+1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-1;y=2 \\
& x=1;y=-4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow E\left( -1;2 \right),F\left( 1;-4 \right).$

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{{A}_{\min }}=EA$ khi $M\equiv E\left( -1;2 \right)\Rightarrow z=-1+2i.$
$\Rightarrow a=-1,b=2.$
Vậy $a-b=-1-2=-3.$