Google
Câu hỏi: Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,BC=4a,\widehat{ABC}={{60}^{0}}.$ Xét hai tia $Bx,Cy$ cùng hướng và cùng vuông góc với $\left( ABC \right)$. Trên $Bx$ lấy điểm ${{B}_{1}}$ sao cho mặt cầu đường kính $B{{B}_{1}}$ tiếp xúc với $Cy$. Trên tia $Cy$ lấy điểm ${{C}_{1}}$ sao cho mặt cầu đường kính $A{{C}_{1}}$ tiếp xúc với ${{B}_{x}}$. Thể tích khối đa diện $ABC{{C}_{1}}{{B}_{1}}$ bằng.
A. $24\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
B. $32\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
C. $8\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}.$
A. $24\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
B. $32\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
C. $8\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}.$
* Ta có: Gọi $E$ là trung điểm của $B{{B}_{1}}$ thì $E$ là tâm mặt cầu đường kính $B{{B}_{1}}$ bán kính $r=d\left( E;C{{C}_{1}} \right)=BC=4a.$ Khi đó: ta có $B{{B}_{1}}=8a;AB=2a;AC=2a\sqrt{3}.$
Gọi $I,F$ lần lượt là trung điểm của $A{{C}_{1}}$ và $AC$ suy ra $IF//C{{C}_{1}}//B{{B}_{1}};IF\bot \left( ABC \right)$
Kẻ $IG\bot B{{B}_{1}}$ tại $G$
Ta có: $IG=BF=\dfrac{A{{C}_{1}}}{2}=R$ là bán kính của mặt cầu có đường kính $A{{C}_{1}}$
Đặt $C{{C}_{1}}=x\left( x>0 \right)$.
Ta có: $R=\dfrac{A{{C}_{1}}}{2}=\dfrac{\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{12{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}$
$R=BF=\sqrt{B{{A}^{2}}+F{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\sqrt{7}$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{12{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}=a\sqrt{7}\Leftrightarrow x=4a$
* Kẻ $AH\bot BC$ tại $H$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& AH\bot B{{B}_{1}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C \right) $ hay $ AH $ là đường cao của hình chóp $ A.B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C$
* Diện tích tứ giác $B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C$ là $S=\dfrac{1}{2}BC.\left( B{{B}_{1}}+C{{C}_{1}} \right)=\dfrac{1}{2}.4a\left( 8a+4a \right)=24{{a}^{2}}$
* Chiều cao của hình chóp $d\left( A,\left( B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C \right) \right)=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{2a.2a\sqrt{3}}{4a}=a\sqrt{3}$
Thể tích hình chóp $S.B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C$ là $V=\dfrac{1}{3}d\left( A,B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C \right).{{S}_{B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.24{{a}^{2}}=8\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
Gọi $I,F$ lần lượt là trung điểm của $A{{C}_{1}}$ và $AC$ suy ra $IF//C{{C}_{1}}//B{{B}_{1}};IF\bot \left( ABC \right)$
Kẻ $IG\bot B{{B}_{1}}$ tại $G$
Ta có: $IG=BF=\dfrac{A{{C}_{1}}}{2}=R$ là bán kính của mặt cầu có đường kính $A{{C}_{1}}$
Đặt $C{{C}_{1}}=x\left( x>0 \right)$.
Ta có: $R=\dfrac{A{{C}_{1}}}{2}=\dfrac{\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{12{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}$
$R=BF=\sqrt{B{{A}^{2}}+F{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\sqrt{7}$
$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{12{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}=a\sqrt{7}\Leftrightarrow x=4a$
* Kẻ $AH\bot BC$ tại $H$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& AH\bot B{{B}_{1}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C \right) $ hay $ AH $ là đường cao của hình chóp $ A.B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C$
* Diện tích tứ giác $B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C$ là $S=\dfrac{1}{2}BC.\left( B{{B}_{1}}+C{{C}_{1}} \right)=\dfrac{1}{2}.4a\left( 8a+4a \right)=24{{a}^{2}}$
* Chiều cao của hình chóp $d\left( A,\left( B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C \right) \right)=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{2a.2a\sqrt{3}}{4a}=a\sqrt{3}$
Thể tích hình chóp $S.B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C$ là $V=\dfrac{1}{3}d\left( A,B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C \right).{{S}_{B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C}}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.24{{a}^{2}}=8\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
Đáp án C.