Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( 1;2;1 \right),B\left( 2;1;3 \right),C\left( 3;2;2 \right).$ Độ dài chiều cao $AH$ của tam giác bằng
A. $\dfrac{\sqrt{14}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{42}}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{14}}{6}.$
D. $\dfrac{\sqrt{21}}{6}.$
A. $\dfrac{\sqrt{14}}{3}.$
B. $\dfrac{\sqrt{42}}{3}.$
C. $\dfrac{\sqrt{14}}{6}.$
D. $\dfrac{\sqrt{21}}{6}.$
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right),\overrightarrow{AC}=\left( 2;0;1 \right),\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( -1;3;2 \right).$
Diện tích tam giác $ABC:S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
$\overrightarrow{BC}=\left( 1;1;-1 \right)\Rightarrow BC=\sqrt{3}.$
Mặt khác ta có diện tích tam giác $ABC:S=\dfrac{1}{2}AH.BC\Rightarrow AH=\dfrac{2S}{BC}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{42}}{3}.$
Diện tích tam giác $ABC:S=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.$
$\overrightarrow{BC}=\left( 1;1;-1 \right)\Rightarrow BC=\sqrt{3}.$
Mặt khác ta có diện tích tam giác $ABC:S=\dfrac{1}{2}AH.BC\Rightarrow AH=\dfrac{2S}{BC}=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{42}}{3}.$
Đáp án B.