Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):3x+y-z+5=0$ và hai điểm $A\left( 1;0;2 \right),B\left( 2;-1;4 \right)$. Tập hợp các điểm $M\left( x;y;z \right)$ nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho tam giác $MAB$ có diện tích nhỏ nhất là đường thẳng có phương trình
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{13}{11}-t \\
& y=t \\
& z=\dfrac{2}{11}-2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right) $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=t \\
& z=-2-2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
C. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=-\dfrac{2}{11}-t \\
& z=\dfrac{20}{11}+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right) $.
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=-t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
A. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{13}{11}-t \\
& y=t \\
& z=\dfrac{2}{11}-2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right) $.
B. $ \left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=t \\
& z=-2-2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
C. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=-\dfrac{2}{11}-t \\
& z=\dfrac{20}{11}+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right) $.
D. $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=-t \\
& z=2+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right)$, vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;1;-1 \right)$.
Ta thấy hai điểm $A,B$ nằm cùng 1 phía với mặt phẳng $\left( P \right)$ và $AB$ song song với $\left( P \right)$.
Điểm $M\in \left( P \right)$ sao cho tam giác $ABM$ có diện tích nhỏ nhất
$\Leftrightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{AB.d\left( M;AB \right)}{2}$ nhỏ nhất
$\Leftrightarrow d\left( M;AB \right)$ nhỏ nhất, hay $M\in \Delta =\left( P \right)\cap \left( Q \right)$, $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $AB$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
$\Rightarrow \Delta \text{//}AB$ hay $\Delta $ nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right)$ là một vectơ chỉ phương.
Ta có vectơ pháp tuyến của $\left( Q \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( -1;7;4 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):-1\left( x-1 \right)+7y+4\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow x-7y-4z+7=0$
Tập hợp các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x-7y-4z+7=0 \\
& 3x+y-z+5=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Chọn $x=-1\Rightarrow y=-\dfrac{2}{11};z=\dfrac{20}{11}$
$\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=-\dfrac{2}{11}-t \\
& z=\dfrac{20}{11}+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Ta thấy hai điểm $A,B$ nằm cùng 1 phía với mặt phẳng $\left( P \right)$ và $AB$ song song với $\left( P \right)$.
Điểm $M\in \left( P \right)$ sao cho tam giác $ABM$ có diện tích nhỏ nhất
$\Leftrightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{AB.d\left( M;AB \right)}{2}$ nhỏ nhất
$\Leftrightarrow d\left( M;AB \right)$ nhỏ nhất, hay $M\in \Delta =\left( P \right)\cap \left( Q \right)$, $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $AB$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
$\Rightarrow \Delta \text{//}AB$ hay $\Delta $ nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1;2 \right)$ là một vectơ chỉ phương.
Ta có vectơ pháp tuyến của $\left( Q \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=\left( -1;7;4 \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):-1\left( x-1 \right)+7y+4\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow x-7y-4z+7=0$
Tập hợp các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& x-7y-4z+7=0 \\
& 3x+y-z+5=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Chọn $x=-1\Rightarrow y=-\dfrac{2}{11};z=\dfrac{20}{11}$
$\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+t \\
& y=-\dfrac{2}{11}-t \\
& z=\dfrac{20}{11}+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Đáp án C.