Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$ và
hai điểm $A\left( 4;3;1 \right),B\left( 3;1;3 \right);M$ là điểm thay đổi trên $\left( S \right)$. Gọi ,m n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}$. Xác định $\left( m-n \right)$
A. 64 .
B. 68.
C. 60 .
D. 48 .
hai điểm $A\left( 4;3;1 \right),B\left( 3;1;3 \right);M$ là điểm thay đổi trên $\left( S \right)$. Gọi ,m n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}$. Xác định $\left( m-n \right)$
A. 64 .
B. 68.
C. 60 .
D. 48 .
Lời giải
Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow I\left( 2{{x}_{A}}-{{x}_{B}};2{{y}_{A}}-{{y}_{B}};2{{z}_{A}}-{{z}_{B}} \right)\Rightarrow I\left( 5;5;-1 \right).$
Suy ra I là điểm cố định.
Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất, P đạt giá trị lớn nhất khi MI đạt giá trị lớn nhất.
$\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ có tâm $J\left( 1;2;-1 \right)$ và bán kính $R=3$
Suy ra $IJ=5$
Mà M là điểm thay đổi trên $\left( S \right)$
Do đó: $minMI=I{{M}_{1}}=JI-R=5-3=2$
$maxMI=I{{M}_{2}}=JI+R=5+3=8$
Suy ra $m-n={{8}^{2}}-{{2}^{2}}=60$
Gọi I là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow I\left( 2{{x}_{A}}-{{x}_{B}};2{{y}_{A}}-{{y}_{B}};2{{z}_{A}}-{{z}_{B}} \right)\Rightarrow I\left( 5;5;-1 \right).$
Suy ra I là điểm cố định.
Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất, P đạt giá trị lớn nhất khi MI đạt giá trị lớn nhất.
$\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ có tâm $J\left( 1;2;-1 \right)$ và bán kính $R=3$
Suy ra $IJ=5$
Mà M là điểm thay đổi trên $\left( S \right)$
Do đó: $minMI=I{{M}_{1}}=JI-R=5-3=2$
$maxMI=I{{M}_{2}}=JI+R=5+3=8$
Suy ra $m-n={{8}^{2}}-{{2}^{2}}=60$
Đáp án C.