Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=8$ và điểm $M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2};0 \right)$. Đường thẳng $d$ thay đổi, đi qua điểm $M$ và cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm $A,B$ phân biệt. Tính diện tích lớn nhất của tam giác $OAB$.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{7}$.
C. $4$.
D. $\sqrt{7}$.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $2\sqrt{7}$.
C. $4$.
D. $\sqrt{7}$.
Ta có: mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right)$ và $R=2\sqrt{2}$.
$OM=1<R\Rightarrow $ điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
Gọi $h=d(O,d)\le OM=1$, khi đó ta có: ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}h.AB=\dfrac{1}{2}h.2\sqrt{O{{A}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{8h-{{h}^{3}}}$.
Xét hàm $f\left( x \right)=\sqrt{8x-{{x}^{3}}} \forall x\in \left[ 0;1 \right]$.
${{S}_{\Delta OAB}}$ đạt giá trị lớn nhất là $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=\sqrt{7} \Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow OM\bot d$.
$OM=1<R\Rightarrow $ điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
Gọi $h=d(O,d)\le OM=1$, khi đó ta có: ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}h.AB=\dfrac{1}{2}h.2\sqrt{O{{A}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{8h-{{h}^{3}}}$.
Xét hàm $f\left( x \right)=\sqrt{8x-{{x}^{3}}} \forall x\in \left[ 0;1 \right]$.
${{S}_{\Delta OAB}}$ đạt giá trị lớn nhất là $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{Max}} f\left( x \right)=\sqrt{7} \Leftrightarrow x=1\Leftrightarrow OM\bot d$.
Đáp án D.