Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2022$. Hỏi có bao nhiêu điểm $M\left( a;b;c \right),a+b+c>0$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ có thể tích khối tứ diện $OABC$ là nhỏ nhất.
A. $4.$
B. $8.$
C. $1.$
D. $2.$
A. $4.$
B. $8.$
C. $1.$
D. $2.$
Gọi $A\left( m;0;0 \right),B\left( 0;n;p \right),C\left( 0;0;p \right)$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1$.
Điểm $M\in \left( ABC \right)$ nên $\dfrac{a}{m}+\dfrac{b}{n}+\dfrac{c}{p}=1\left( 1 \right)$.
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ nên
$\begin{aligned}
& d\left[ O,\left( ABC \right) \right]=R \\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}}}=\sqrt{2022}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2022}=\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}\ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{{{\left( mnp \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow \left| mnp \right|\ge \sqrt{{{6066}^{3}}} \\
\end{aligned}$.
Thể tích $OABC$ là ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}\left| mnp \right|\ge \dfrac{\sqrt{{{6066}^{3}}}}{6}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left| m \right|=\left| n \right|=\left| p \right|=\sqrt{6066}$.
Suy ra $M\in \left( d \right):\left| x \right|=\left| y \right|=\left| z \right|\Rightarrow $ $\left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|$ và $a+b+c>0$.
Vậy có $4$ điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{p}=1$.
Điểm $M\in \left( ABC \right)$ nên $\dfrac{a}{m}+\dfrac{b}{n}+\dfrac{c}{p}=1\left( 1 \right)$.
Vì mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ nên
$\begin{aligned}
& d\left[ O,\left( ABC \right) \right]=R \\
& \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}}}=\sqrt{2022}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2022}=\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+\dfrac{1}{{{p}^{2}}}\ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{{{\left( mnp \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow \left| mnp \right|\ge \sqrt{{{6066}^{3}}} \\
\end{aligned}$.
Thể tích $OABC$ là ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}\left| mnp \right|\ge \dfrac{\sqrt{{{6066}^{3}}}}{6}$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left| m \right|=\left| n \right|=\left| p \right|=\sqrt{6066}$.
Suy ra $M\in \left( d \right):\left| x \right|=\left| y \right|=\left| z \right|\Rightarrow $ $\left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|$ và $a+b+c>0$.
Vậy có $4$ điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.