Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+6y-2z-6=0.$ Phương...

Phương pháp:
- Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right).$
- Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $A\left( -1;-3;4 \right)$ nhận $\overrightarrow{IA}$ là 1 VTPT.
- Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0.$
Cách giải:
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;-3;1 \right),$ bán kính $R=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+6}=5.$
Vì $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $A\left( -1;-3;4 \right)$ nên $IA\bot \left( P \right)\Rightarrow \left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{IA}=\left( -4;0;3 \right)$ làm 1 VTPT.
$\Rightarrow $ phương trình mặt phẳng $\left( P \right):-4\left( x+1 \right)+3\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow 4x-3z+16=0.$