Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z}{-1}$ cắt mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-6=0$ tại điểm $M$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( a~;~b~;~c \right)$ với $a<0$ thuộc đường thẳng $d$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ tại điểm $A$. Tìm tổng $T=a+b+c$ khi biết diện tích tam giác $IAM$ bằng $3\sqrt{3}$.
A. $T=-2$.
B. $T=\dfrac{1}{2}$.
C. $T=8$.
D. $T=0$.
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+2t \\
y=1+t~ \\
z=-t~ \\
\end{array},\left( t\in \mathbb{R} \right) \right. $ có vtcp $ {{\vec{u}}_{d}}=\left( 2~;~1~;~-1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vtpt ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 1~;~2~;~1 \right)$.
Khi đó: Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\widehat{IMA}$
$\text{sin}\widehat{IMA}=\dfrac{\left| {{{\vec{u}}}_{d}}.{{{\vec{n}}}_{P}} \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{d}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{P}} \right|}=\dfrac{\left| 2.1+1.2-1.1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{IMA}=30{}^\circ $.
Ta có: $IA=R\Rightarrow MA=\dfrac{IA}{\text{tan}30{}^\circ }=R\sqrt{3}$.
Mà ${{S}_{\Delta IAM}}=3\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}IA.MA=3\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}{{R}^{2}}=3\sqrt{3}\Leftrightarrow R=\sqrt{6}$.
Mặt khác: $I\left( 1+2t~;~1+t~;~-t \right)\in d$ và $d\left( I,\left( P \right) \right)=R$
$\Rightarrow \dfrac{\left| 1+2t+2\left( 1+t \right)+\left( -t \right)-6 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{6}\Leftrightarrow \left| 3t-3 \right|=6\Leftrightarrow \left| t-1 \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
t=3~\Rightarrow I\left( 7~;~4~;~-3 \right)~\left( L \right)~ \\
t=-1~\Rightarrow I\left( -1~;~0~;~1 \right)~ \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow a=-1,b=0,c=1$.
Vậy $T=a+b+c=0$.
A. $T=-2$.
B. $T=\dfrac{1}{2}$.
C. $T=8$.
D. $T=0$.
Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=1+2t \\
y=1+t~ \\
z=-t~ \\
\end{array},\left( t\in \mathbb{R} \right) \right. $ có vtcp $ {{\vec{u}}_{d}}=\left( 2~;~1~;~-1 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vtpt ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 1~;~2~;~1 \right)$.
Khi đó: Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\widehat{IMA}$
$\text{sin}\widehat{IMA}=\dfrac{\left| {{{\vec{u}}}_{d}}.{{{\vec{n}}}_{P}} \right|}{\left| {{{\vec{u}}}_{d}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{P}} \right|}=\dfrac{\left| 2.1+1.2-1.1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{IMA}=30{}^\circ $.
Ta có: $IA=R\Rightarrow MA=\dfrac{IA}{\text{tan}30{}^\circ }=R\sqrt{3}$.
Mà ${{S}_{\Delta IAM}}=3\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}IA.MA=3\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}{{R}^{2}}=3\sqrt{3}\Leftrightarrow R=\sqrt{6}$.
Mặt khác: $I\left( 1+2t~;~1+t~;~-t \right)\in d$ và $d\left( I,\left( P \right) \right)=R$
$\Rightarrow \dfrac{\left| 1+2t+2\left( 1+t \right)+\left( -t \right)-6 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{6}\Leftrightarrow \left| 3t-3 \right|=6\Leftrightarrow \left| t-1 \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
t=3~\Rightarrow I\left( 7~;~4~;~-3 \right)~\left( L \right)~ \\
t=-1~\Rightarrow I\left( -1~;~0~;~1 \right)~ \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow a=-1,b=0,c=1$.
Vậy $T=a+b+c=0$.
Đáp án D.