Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( -3~;~3~;~-3 \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-2y+z+15=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=100$. Đường thẳng $\Delta $ qua $M$, nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt $\left( S \right)$ tại $A,~B$ sao cho độ dài $AB$ lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng $\Delta $.
A. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$.
B. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{3}$.
C. $\dfrac{x+3}{16}=\dfrac{y-3}{11}=\dfrac{z+3}{-10}$.
D. $\dfrac{x+3}{5}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{8}$.
A. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}$.
B. $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{3}$.
C. $\dfrac{x+3}{16}=\dfrac{y-3}{11}=\dfrac{z+3}{-10}$.
D. $\dfrac{x+3}{5}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+3}{8}$.
Ta có: Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 2~;~3~;~5 \right)$, bán kính $R=10$.
$d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.2-2.3+5+15 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6<R$ $\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( S \right)=C\left( H~;~r \right)$, $H$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( \alpha \right)$.
Gọi ${{\Delta }_{1}}$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$ $\Rightarrow {{\Delta }_{1}}$ có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }_{1}}}}}=\left( 2;-2;1 \right)$.
$\Rightarrow $ PTTS $\Delta_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=3-2 t \\ z=5+t\end{array}\right.$
Tọa độ $ H $ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=3-2 t \\ z=5+t \\ 2 x-2 y+z+15=0\end{array}\right.$ $ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-2 \\ y=7 \\ z=3\end{array} \Rightarrow H(-2 ; 7 ; 3)\right.$
Ta có $AB$ có độ dài lớn nhất $\Leftrightarrow AB$ là đường kính của $\left( C \right)$ $\Leftrightarrow \Delta \equiv MH$.
Đường thẳng $MH$ đi qua $M\left( -3~;~3~;~-3 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{MH}=\left( 1~;~4~;~6 \right)$.
Suy ra phương trình $\Delta :\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}.$
$d\left( I,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| 2.2-2.3+5+15 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6<R$ $\Rightarrow \left( \alpha \right)\cap \left( S \right)=C\left( H~;~r \right)$, $H$ là hình chiếu của $I$ lên $\left( \alpha \right)$.
Gọi ${{\Delta }_{1}}$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$ $\Rightarrow {{\Delta }_{1}}$ có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }_{1}}}}}=\left( 2;-2;1 \right)$.
$\Rightarrow $ PTTS $\Delta_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=3-2 t \\ z=5+t\end{array}\right.$
Tọa độ $ H $ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2 t \\ y=3-2 t \\ z=5+t \\ 2 x-2 y+z+15=0\end{array}\right.$ $ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-2 \\ y=7 \\ z=3\end{array} \Rightarrow H(-2 ; 7 ; 3)\right.$
Ta có $AB$ có độ dài lớn nhất $\Leftrightarrow AB$ là đường kính của $\left( C \right)$ $\Leftrightarrow \Delta \equiv MH$.
Đường thẳng $MH$ đi qua $M\left( -3~;~3~;~-3 \right)$ và có VTCP $\overrightarrow{MH}=\left( 1~;~4~;~6 \right)$.
Suy ra phương trình $\Delta :\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y-3}{4}=\dfrac{z+3}{6}.$
Đáp án A.