Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, Cho ba mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z+5=0;\ \left( Q \right):x+y+z+1=0;\ $ và $\left( R \right):x+y+z+2=0$. Ứng với mỗi cặp $A,\ B$ lần lượt thuộc hai mặt phẳng $\left( P \right),\ \left( Q \right)$ thì mặt cầu đường kính $AB$ luôn cắt mặt phẳng $\left( R \right)$ theo một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $1$.
Nhận thấy 3 mặt phẳng song song với nhau và mặt phẳng $\left( R \right)$ nằm giữa $\left( P \right),\ \left( Q \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( Q \right)$.
Vì $d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( I;\left( Q \right) \right)=IH=\dfrac{2}{\sqrt{3}};\ d\left( \left( Q \right),\left( R \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ \Rightarrow d\left( I;\left( R \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Ta có $Sin\widehat{IBH}=\dfrac{IH}{IB}\Rightarrow IB=\dfrac{2}{\sqrt{3}Sin\widehat{IBH}}$ là bán kính mặt cầu đường kính $AB$.
Bán kính đường tròn $r=\sqrt{I{{B}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( R \right) \right)}=\sqrt{\dfrac{4}{3Si{{n}^{2}}\widehat{IBH}}-\dfrac{1}{3}}\ge 1$ dấu bằng xảy ra khi $\widehat{IBH}={{90}^{o}}\Leftrightarrow AB\bot \left( Q \right)$.
A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
B. $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
C. $\dfrac{1}{2}$.
D. $1$.
Nhận thấy 3 mặt phẳng song song với nhau và mặt phẳng $\left( R \right)$ nằm giữa $\left( P \right),\ \left( Q \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( Q \right)$.
Vì $d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( I;\left( Q \right) \right)=IH=\dfrac{2}{\sqrt{3}};\ d\left( \left( Q \right),\left( R \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ \Rightarrow d\left( I;\left( R \right) \right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Ta có $Sin\widehat{IBH}=\dfrac{IH}{IB}\Rightarrow IB=\dfrac{2}{\sqrt{3}Sin\widehat{IBH}}$ là bán kính mặt cầu đường kính $AB$.
Bán kính đường tròn $r=\sqrt{I{{B}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( R \right) \right)}=\sqrt{\dfrac{4}{3Si{{n}^{2}}\widehat{IBH}}-\dfrac{1}{3}}\ge 1$ dấu bằng xảy ra khi $\widehat{IBH}={{90}^{o}}\Leftrightarrow AB\bot \left( Q \right)$.
Đáp án D.