Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , Cho ba mặt phẳng $(P) : x + y + z + 5 = 0; (Q) : x + y + z + 1 = 0;$ và $\left( R...

The Collectors · 31/5/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ

O x y z

, Cho ba mặt phẳng

(P) : x + y + z + 5 = 0; (Q) : x + y + z + 1 = 0;

và

(R) : x + y + z + 2 = 0

. Ứng với mỗi cặp

A, B

lần lượt thuộc hai mặt phẳng

(P), (Q)

thì mặt cầu đường kính

A B

luôn cắt mặt phẳng

(R)

theo một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó.
A.

\frac{1}{\sqrt{3}}

.
B.

\frac{2}{\sqrt{3}}

.
C.

\frac{1}{2}

.
D.

1

.

Nhận thấy 3 mặt phẳng song song với nhau và mặt phẳng

(R)

nằm giữa

(P), (Q)

.
Gọi

I

là trung điểm của

A B

,

H

là hình chiếu của

I

lên mặt phẳng

(Q)

.
Vì

d ((P), (Q)) = \frac{4}{\sqrt{3}} \Rightarrow d (I; (Q)) = I H = \frac{2}{\sqrt{3}}; d ((Q), (R)) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow d (I; (R)) = \frac{1}{\sqrt{3}}

.
Ta có

S i n \hat{I B H} = \frac{I H}{I B} \Rightarrow I B = \frac{2}{\sqrt{3} S i n \hat{I B H}}

là bán kính mặt cầu đường kính

A B

.
Bán kính đường tròn

r = \sqrt{I B^{2} - d^{2} (I, (R))} = \sqrt{\frac{4}{3 S i n^{2} \hat{I B H}} - \frac{1}{3}} \geq 1

dấu bằng xảy ra khi

\hat{I B H} = 90^{o} \Leftrightarrow A B ⊥ (Q)

.

Đáp án D.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho ba mặt phẳng (P):x+y+z+5=0; (Q):x+y+z+1=0; và $\left( R...