Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right)$, $C\left( 0;0;c \right)$ với $a,b,c>0.$ Biết mặt phẳng $\left( ABC \right)$ đi qua $M\left( \dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{3}{7} \right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{72}{7}.$ Tính $\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}$
A. 14
B. 7
C. $\dfrac{1}{7}$
D. $\dfrac{7}{2}$
A. 14
B. 7
C. $\dfrac{1}{7}$
D. $\dfrac{7}{2}$
Phương pháp:
- Viết phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ dạng mặt chắn.
- Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
- Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với $S\left( I;R \right)$ khi và chỉ khi $d\left( I;\left( P \right) \right)=R.$
- Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ là:
$d\left( M;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$.
Cách giải:
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Vì $M\left( \dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{3}{7} \right)\in \left( ABC \right)$ nên ta có $\dfrac{1}{7a}+\dfrac{2}{7b}+\dfrac{3}{7c}=1\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=7.$
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{72}{7}$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right),$ bán kính $R=\sqrt{\dfrac{72}{7}}.$
Vì $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ nên $d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R.$
$\Rightarrow \dfrac{\left| \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{\dfrac{72}{7}}\Leftrightarrow \dfrac{6}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{\dfrac{72}{7}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{7}{2}.$
- Viết phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ dạng mặt chắn.
- Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
- Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với $S\left( I;R \right)$ khi và chỉ khi $d\left( I;\left( P \right) \right)=R.$
- Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ là:
$d\left( M;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$.
Cách giải:
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Vì $M\left( \dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{3}{7} \right)\in \left( ABC \right)$ nên ta có $\dfrac{1}{7a}+\dfrac{2}{7b}+\dfrac{3}{7c}=1\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=7.$
Mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\dfrac{72}{7}$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right),$ bán kính $R=\sqrt{\dfrac{72}{7}}.$
Vì $\left( P \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ nên $d\left( I;\left( ABC \right) \right)=R.$
$\Rightarrow \dfrac{\left| \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}-1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{\dfrac{72}{7}}\Leftrightarrow \dfrac{6}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{\dfrac{72}{7}}\Rightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{7}{2}.$
Đáp án D.