Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right),$ trong đó...

$A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)\Rightarrow $ mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có phương trình: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Mặt phẳng $\left( ABC \right)$ đi qua $I\left( 1;2;3 \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1.$
Thể tích khối tứ diện $OABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.OA.OB.OC=\dfrac{1}{6}abc$ (do $a>0;b>0;c>0).$
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}=3\sqrt[3]{\dfrac{6}{abc}}$
$\Rightarrow \dfrac{6}{abc}\le \dfrac{1}{27}{{\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow \dfrac{1}{6}abc\ge 27$ hay $V\ge 27.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=1 \\
& \dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=3 \\
& b=6 \\
& c=9 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $a+b+c=3+6+9=18.$