Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left(3; 0; 0 \right), B\left(-3; 0; 0 \right)$ và $C\left(0; 5; 1 \right)$. Gọi $M$ là...

Gọi ${{C}_{1}}\left(0; 5; 0 \right)$ là hình chiếu của $C$ trên mặt phẳng $\left(Oxy \right)$. Khi đó ta có:
$MC=\sqrt{C{{C}_{1}}^{2}+{{C}_{1}}{{M}^{2}}}=\sqrt{1+{{C}_{1}}{{M}^{2}}}\left(* \right)$
Vậy $MC$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M{{C}_{1}}$ nhỏ nhất.
Xét trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ với $A\left(3; 0 \right), B\left(-3; 0 \right),{{C}_{1}}\left(0; 5 \right)$
Theo giả thiết $MA+MB=10$ nên tập hợp điểm $M$ là đường elip có phương trình: $\dfrac{{{x}^{2}}}{25}+\dfrac{{{y}^{2}}}{16}=1$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& x=5\cos \alpha \\
& y=4\sin \alpha \\
\end{aligned} \right., 0\le \alpha \le 2\pi .$
$M\left(5\cos \alpha; 4\sin \alpha \right)$,
$M{{C}_{1}}=\sqrt{{{5}^{2}}{{\cos }^{2}}\alpha +{{\left(4\sin \alpha -5 \right)}^{2}}}=\sqrt{25-25{{\sin }^{2}}\alpha +16{{\sin }^{2}}\alpha -40\sin \alpha +25}$
$=\sqrt{50-49\sin \alpha -9{{\sin }^{2}}\alpha }=\sqrt{1+40\left(1-\sin \alpha \right)+9\left(1-{{\sin }^{2}}\alpha \right)}\ge 1$
Suy ra ${{C}_{1}}{{M}_{\min }}=1\Leftrightarrow \sin \alpha =1,$ suy ra $M\left(0; 4 \right)$.
Vậy $C{{M}_{\min }}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{2}$ với $M\left(0; 4; 0 \right)$.