Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A(3;0;0),B(-3;0;0)$ và $C(0;5;1)$. Gọi $M$ là...

Gọi $C_1(0;5;0)$ là hình chiếu của $C$ trên mặt phẳng $\left(Oxy\right)$. Khi đó ta có:
$MC=\sqrt{C{C_1}^2+C_1{M}^2}=\sqrt{1+C_1{M}^2}(\ast )$
Vậy $MC$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M{C}_1$ nhỏ nhất.
Xét trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ với $A(3;0),B(-3;0),C_1(0;5)$
Theo giả thiết $MA+MB=10$ nên tập hợp điểm $M$ là đường elip có phương trình: ${\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{16}}=1$.
Đặt $\{\begin{array}{rl}& x=5\cos \alpha \\ & y=4\sin \alpha \end{array},0\le \alpha \le 2\pi .$
$M(5\cos \alpha ;4\sin \alpha )$,
$M{C}_1=\sqrt{5^2{\cos }^2\alpha +{(4\sin \alpha -5)}^2}=\sqrt{25-25{\sin }^2\alpha +16{\sin }^2\alpha -40\sin \alpha +25}$
$=\sqrt{50-49\sin \alpha -9{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1+40(1-\sin \alpha )+9(1-{\sin }^2\alpha )}\ge 1$
Suy ra $C_1{M}_{min}=1\iff \sin \alpha =1,$ suy ra $M(0;4)$.
Vậy $C{M}_{min}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ với $M(0;4;0)$.