Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( 2;3;1 \right),B\left( -1;2;0 \right),C\left( 1;1;-2 \right).$ Gọi $I\left( a;b;c \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính giá trị biểu thức $P=15a+30b+75c$.
A. 52.
B. 50.
C. 46.
D. 48.
A. 52.
B. 50.
C. 46.
D. 48.
Ta có $\left. \begin{aligned}
& \overrightarrow{AB}=\left( -3;-1;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( -1;-2;-3 \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;-8;5 \right).$
Phương trình $\left( ABC \right)$ đi qua $B$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ là:
$1.\left( x+1 \right)-8.\left( y-2 \right)+5.\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow x-8y+5z=-17\left( 1 \right).$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ thì $M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2} \right).$ Khi đó mặt phẳng trung trực của $AB$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{BA}=\left( 3;1;1 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:
$3.\left( x-\dfrac{1}{2} \right)+1.\left( y-\dfrac{5}{2} \right)+1.\left( z-\dfrac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow 3x+y+z=\dfrac{9}{2}\left( 2 \right).$
Gọi $N$ là trung điểm của $AC$ thì $N\left( \dfrac{3}{2};2;\dfrac{-1}{2} \right).$ Khi đó mặt phẳng trung trực của $AC$ đi qua $N$ và nhận $\overrightarrow{CA}=\left( 1;2;3 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:
$1.\left( x-\dfrac{3}{2} \right)+2.\left( y-2 \right)+3.\left( z+\dfrac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow x+2y+3z=4\left( 3 \right).$
Vì $I\left( a;b;c \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $I$ thuộc giao tuyến hai mặt phẳng trung trực của $AB$ và $AC,$ đồng thời $I\in \left( ABC \right).$ Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ ta có tọa độ của $I$ thỏa mãn hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& a-8b+5c=-17 \\
& 3a+b+c=\dfrac{9}{2} \\
& a+2b+3c=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{14}{15} \\
& b=\dfrac{61}{30} \\
& c=\dfrac{-1}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Do đó $P=15.\dfrac{14}{15}+30.\dfrac{61}{30}+75.\left( \dfrac{-1}{3} \right)=50.$
& \overrightarrow{AB}=\left( -3;-1;-1 \right) \\
& \overrightarrow{AC}=\left( -1;-2;-3 \right) \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;-8;5 \right).$
Phương trình $\left( ABC \right)$ đi qua $B$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ là:
$1.\left( x+1 \right)-8.\left( y-2 \right)+5.\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow x-8y+5z=-17\left( 1 \right).$
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ thì $M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2} \right).$ Khi đó mặt phẳng trung trực của $AB$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow{BA}=\left( 3;1;1 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:
$3.\left( x-\dfrac{1}{2} \right)+1.\left( y-\dfrac{5}{2} \right)+1.\left( z-\dfrac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow 3x+y+z=\dfrac{9}{2}\left( 2 \right).$
Gọi $N$ là trung điểm của $AC$ thì $N\left( \dfrac{3}{2};2;\dfrac{-1}{2} \right).$ Khi đó mặt phẳng trung trực của $AC$ đi qua $N$ và nhận $\overrightarrow{CA}=\left( 1;2;3 \right)$ làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:
$1.\left( x-\dfrac{3}{2} \right)+2.\left( y-2 \right)+3.\left( z+\dfrac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow x+2y+3z=4\left( 3 \right).$
Vì $I\left( a;b;c \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $I$ thuộc giao tuyến hai mặt phẳng trung trực của $AB$ và $AC,$ đồng thời $I\in \left( ABC \right).$ Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ ta có tọa độ của $I$ thỏa mãn hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& a-8b+5c=-17 \\
& 3a+b+c=\dfrac{9}{2} \\
& a+2b+3c=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{14}{15} \\
& b=\dfrac{61}{30} \\
& c=\dfrac{-1}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Do đó $P=15.\dfrac{14}{15}+30.\dfrac{61}{30}+75.\left( \dfrac{-1}{3} \right)=50.$
Đáp án B.