Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $A\left( a;0;0 \right), B\left( 0;b;0 \right), C\left( 0;0;c \right)$ với $a,b,c>0$ sao cho $2OA-OB+5\sqrt{O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}=36$. Tính $a-b+c$ khi thể tích khối chóp $O.ABC$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $1$.
B. $5$.
C. $\dfrac{-36+36\sqrt{2}}{5}$.
D. $7$.
A. $1$.
B. $5$.
C. $\dfrac{-36+36\sqrt{2}}{5}$.
D. $7$.
Từ $2OA-OB+5\sqrt{O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}=36\Rightarrow 2a-b+5\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=36$
Ta có $36=2a-b+5\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=2a-b+5\sqrt{\dfrac{{{\left( 4b \right)}^{2}}}{16}+\dfrac{{{\left( 3c \right)}^{2}}}{9}}\ge 2a-b+5\sqrt{\dfrac{{{\left( 4b+3c \right)}^{2}}}{16+9}}=2a+3b+4c$
$\Leftrightarrow 36\ge 3\sqrt[3]{2a.3b.4c}\Rightarrow abc\le 72\Rightarrow \dfrac{1}{6}abc\le 12$
$\Rightarrow {{V}_{\max }}=12 khi \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{4b}{16}=\dfrac{3c}{9} \\
& 2a=3b=4c \\
& 2a-b+5\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=36 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=6 \\
& b=4 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $36=2a-b+5\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=2a-b+5\sqrt{\dfrac{{{\left( 4b \right)}^{2}}}{16}+\dfrac{{{\left( 3c \right)}^{2}}}{9}}\ge 2a-b+5\sqrt{\dfrac{{{\left( 4b+3c \right)}^{2}}}{16+9}}=2a+3b+4c$
$\Leftrightarrow 36\ge 3\sqrt[3]{2a.3b.4c}\Rightarrow abc\le 72\Rightarrow \dfrac{1}{6}abc\le 12$
$\Rightarrow {{V}_{\max }}=12 khi \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{4b}{16}=\dfrac{3c}{9} \\
& 2a=3b=4c \\
& 2a-b+5\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=36 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=6 \\
& b=4 \\
& c=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án B.