Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho mặt phẳng $\left( P...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho mặt phẳng

(P) : 3 x - 3 y + 2 z + 37 = 0

và các điểm

A (4; 1; 5), B (3; 0; 1), C (- 1; 2; 0)

. Biết

M

thuộc

(P)

sao cho biểu thức

S = \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}

đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa độ điểm

M

là
A.

(- 4; 7; - 2)

.
B.

(- 3; 6; - 5)

.
C.

(1; 8; - 8)

.
D.

(- 2; 5; - 8)

.

Gọi

M (x; y; z)

.
Do

M \in (P)

nên

3 x - 3 y + 2 z + 37 = 0

.
Có

\vec{M A} = (4 - x; 1 - y; 5 - z), \vec{M B} = (3 - x; - y; 1 - z), \vec{M C} = (- 1 - x; 2 - y; - z)

.
Khi đó

S = 3 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} - 5]

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

[3 (x - 2) - 3 (y - 1) + 2 {(z - 2)}^{2}] \leq (3^{2} + 3^{2} + 2^{2}) [{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2}]

\Leftrightarrow 44^{2} \leq 22 (\frac{S}{3} + 5) \Leftrightarrow S \geq 249

Dấu "=" xảy ra khi

\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 2}{2} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = - 4 \\ y = 7 \\ z = - 2 \end{aligned}

.

Đáp án A.