Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho mặt phẳng $\left( P \right):3x-3y+2z+37=0$ và các điểm $A\left( 4;1;5 \right),B\left( 3;0;1 \right),C\left( -1;2;0 \right)$. Biết $M$ thuộc $\left( P \right)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa độ điểm $M$ là
A. $\left( -4;7;-2 \right)$.
B. $\left( -3;6;-5 \right)$.
C. $\left( 1;8;-8 \right)$.
D. $\left( -2;5;-8 \right)$.
A. $\left( -4;7;-2 \right)$.
B. $\left( -3;6;-5 \right)$.
C. $\left( 1;8;-8 \right)$.
D. $\left( -2;5;-8 \right)$.
Gọi $M\left( x;y;z \right)$.
Do $M\in \left( P \right)$ nên $3x-3y+2z+37=0$.
Có $\overrightarrow{MA}=\left( 4-x;1-y;5-z \right),\overrightarrow{MB}=\left( 3-x;-y;1-z \right),\overrightarrow{MC}=\left( -1-x;2-y;-z \right)$.
Khi đó $S=3\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}-5 \right]$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
$\left[ 3\left( x-2 \right)-3\left( y-1 \right)+2{{\left( z-2 \right)}^{2}} \right]\le \left( {{3}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{44}^{2}}\le 22\left( \dfrac{S}{3}+5 \right)\Leftrightarrow S\ge 249$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-1}{-3}=\dfrac{z-2}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-4 \\
& y=7 \\
& z=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $M\in \left( P \right)$ nên $3x-3y+2z+37=0$.
Có $\overrightarrow{MA}=\left( 4-x;1-y;5-z \right),\overrightarrow{MB}=\left( 3-x;-y;1-z \right),\overrightarrow{MC}=\left( -1-x;2-y;-z \right)$.
Khi đó $S=3\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}-5 \right]$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
$\left[ 3\left( x-2 \right)-3\left( y-1 \right)+2{{\left( z-2 \right)}^{2}} \right]\le \left( {{3}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{44}^{2}}\le 22\left( \dfrac{S}{3}+5 \right)\Leftrightarrow S\ge 249$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-1}{-3}=\dfrac{z-2}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-4 \\
& y=7 \\
& z=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án A.