Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục tọa độ $0xyz,$ cho hai điểm $A\left( 1;2;7 \right),B\left( -\dfrac{5}{7};-\dfrac{10}{7};\dfrac{13}{7} \right).$ Gọi (S) là mặt cầu tâm $I$ đi qua hai điểm A, B sao cho $OI$ nhỏ nhất. $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc (S), giá trị lớn nhất của biểu thức $T=2a-b+2c$ là
A. $18$
B. $7$
C. $156$
D. $6$
A. $18$
B. $7$
C. $156$
D. $6$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng trung trực của AB. Mp $\left( \alpha \right)$ đi qua trung điểm $M\left( \dfrac{1}{7};\dfrac{2}{7};\dfrac{31}{7} \right)$ và nhận véc tơ $\overrightarrow{AB}=\left( -\dfrac{12}{7};-\dfrac{24}{7};-\dfrac{36}{7} \right)$ làm véc tơ pháp tuyến. Chọn $\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left( 1;2;3 \right)$
PTmp $\left( \alpha \right)$ là $x+2y+3z-14=0$
Do $I$ cách đều hai điểm A, B nên $I$ thuộc mp $\left( \alpha \right)$. Ta thấy $OI$ nhỏ nhất khi $I$ là hình chiếu của $O$ lên $\left( \alpha \right)$
Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$. PT tham số của $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2t \\
& z=3t \\
\end{aligned} \right.$
Ta tìm được giao điểm của $d$ và mp $\left( \alpha \right)$ là điểm $I\left( 1;2;3 \right)$
PT mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính $R=IA=4$ là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$
Xét mp(P): $2x-y+2z-T=0$
Khi đó, ta có $d\left( I,(P) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| T-6 \right|}{3}\le 4\Leftrightarrow -6\le T\le 18$. Vậy ${{T}_{m\text{ax}}}=18.$
PTmp $\left( \alpha \right)$ là $x+2y+3z-14=0$
Do $I$ cách đều hai điểm A, B nên $I$ thuộc mp $\left( \alpha \right)$. Ta thấy $OI$ nhỏ nhất khi $I$ là hình chiếu của $O$ lên $\left( \alpha \right)$
Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$. PT tham số của $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=2t \\
& z=3t \\
\end{aligned} \right.$
Ta tìm được giao điểm của $d$ và mp $\left( \alpha \right)$ là điểm $I\left( 1;2;3 \right)$
PT mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính $R=IA=4$ là ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$
Xét mp(P): $2x-y+2z-T=0$
Khi đó, ta có $d\left( I,(P) \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| T-6 \right|}{3}\le 4\Leftrightarrow -6\le T\le 18$. Vậy ${{T}_{m\text{ax}}}=18.$
Đáp án A.