Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ và hai điểm $A\left( 3;0;0 \right);B\left( -1;1;0 \right)$. Gọi $M$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+3MB$.
A. $2\sqrt{34}$
B. $\sqrt{26}$
C. $5$
D. $\sqrt{34}$
A. $2\sqrt{34}$
B. $\sqrt{26}$
C. $5$
D. $\sqrt{34}$
Gọi $M\left( x;y;z \right)$ là điểm cần tìm.
Ta có : $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-1=0$.
$MA=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};MB=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$.
Suy ra: $MA+3MB=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$
$=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)-8}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$
$=3\sqrt{{{\left( x-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}=3\left( MC+MB \right)\ge 3BC$ với $C\left( \dfrac{1}{3};0;0 \right)$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+3MB$ bằng 5 khi $\left\{ \begin{aligned}
& M=BC\cap \left( S \right) \\
& \overrightarrow{CM}=k.\overrightarrow{CB}\ \left( k>0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( \dfrac{3-8\sqrt{6}}{25};\dfrac{4+6\sqrt{6}}{25};0 \right)$.
Ta có : $M\in \left( S \right)\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-1=0$.
$MA=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}};MB=\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$.
Suy ra: $MA+3MB=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$
$=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+8\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)-8}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}$
$=3\sqrt{{{\left( x-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+3\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}}=3\left( MC+MB \right)\ge 3BC$ với $C\left( \dfrac{1}{3};0;0 \right)$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA+3MB$ bằng 5 khi $\left\{ \begin{aligned}
& M=BC\cap \left( S \right) \\
& \overrightarrow{CM}=k.\overrightarrow{CB}\ \left( k>0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M\left( \dfrac{3-8\sqrt{6}}{25};\dfrac{4+6\sqrt{6}}{25};0 \right)$.
Đáp án C.